Номер 420, страница 116 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главам 1 и 2. Задачи повышенной трудности. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 420, страница 116.

420 Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По условию задачи, у них соответственно равны:

1. Угол: $\angle A = \angle A_1$.

2. Прилежащая к этому углу сторона: $AB = A_1B_1$.

3. Сумма двух других сторон: $AC + BC = A_1C_1 + B_1C_1$.

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Для доказательства используем метод дополнительного построения.

1. На луче $AC$ отложим отрезок $CD$, равный стороне $BC$. Точка $C$ будет лежать между точками $A$ и $D$. Таким образом, длина отрезка $AD$ будет равна сумме сторон $AC$ и $BC$: $AD = AC + CD = AC + BC$. Соединим точки $B$ и $D$, получив треугольник $\triangle ABD$.

2. Аналогичное построение выполним для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. На луче $A_1C_1$ отложим отрезок $C_1D_1$, равный стороне $B_1C_1$. Тогда $A_1D_1 = A_1C_1 + C_1D_1 = A_1C_1 + B_1C_1$. Соединим точки $B_1$ и $D_1$, получив треугольник $\triangle A_1B_1D_1$.

3. Сравним треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

- $AB = A_1B_1$ (по условию).

- $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$ (так как это углы $\angle A$ и $\angle A_1$, которые равны по условию).

- $AD = AC + BC$ (по построению). $A_1D_1 = A_1C_1 + B_1C_1$ (по построению). Так как по условию $AC + BC = A_1C_1 + B_1C_1$, то $AD = A_1D_1$.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих элементов:

- $BD = B_1D_1$

- $\angle ADB = \angle A_1D_1B_1$ (или $\angle D = \angle D_1$)

5. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. По построению $BC = CD$, значит, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB = \angle D$.

Аналогично, треугольник $\triangle B_1C_1D_1$ является равнобедренным ($B_1C_1 = C_1D_1$), поэтому $\angle C_1B_1D_1 = \angle C_1D_1B_1 = \angle D_1$.

6. Сравним треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$.

- $BD = B_1D_1$ (доказано в п. 4).

- $\angle CDB = \angle C_1D_1B_1$ (так как $\angle D = \angle D_1$, доказано в п. 4).

- $\angle CBD = \angle C_1B_1D_1$ (так как $\angle CBD = \angle D$ и $\angle C_1B_1D_1 = \angle D_1$, а $\angle D = \angle D_1$).

Следовательно, $\triangle BCD = \triangle B_1C_1D_1$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

7. Из равенства треугольников $\triangle BCD$ и $\triangle B_1C_1D_1$ следует равенство их соответствующих сторон: $BC = B_1C_1$ и $CD = C_1D_1$.

8. Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

- $AB = A_1B_1$ (по условию).

- $BC = B_1C_1$ (доказано в п. 7).

- Из условия $AC + BC = A_1C_1 + B_1C_1$ и доказанного равенства $BC = B_1C_1$ следует, что $AC = A_1C_1$.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.