Номер 20, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

20 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписанной в треугольник.

Формулировка теоремы: В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Доказательство:

Доказательство состоит из двух частей: доказательство существования и доказательство единственности.

1. Существование.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем биссектрисы двух его углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. Они пересекаются в некоторой точке $O$, так как не могут быть параллельными (сумма углов, которые они образуют со стороной $AB$, меньше $180^\circ$).

Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, она равноудалена от его сторон $AB$ и $AC$. Опустим перпендикуляры из точки $O$ на стороны треугольника: $OK \perp AC$, $OL \perp BC$ и $OM \perp AB$. Тогда $OK = OM$.
Поскольку точка $O$ лежит на биссектрисе угла $B$, она равноудалена от его сторон $BA$ и $BC$. Тогда $OM = OL$.

Из полученных равенств следует, что $OK = OM = OL$. Обозначим эту общую длину за $r$.

Так как точка $O$ равноудалена от сторон $AC$ и $BC$ (поскольку $OK=OL$), она также лежит на биссектрисе угла $C$. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке $O$.

Теперь построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OK = OL = OM$. Эта окружность проходит через точки $K, L, M$. Поскольку отрезки $OK, OL, OM$ являются перпендикулярами к сторонам треугольника, то стороны $AC, BC, AB$ являются касательными к этой окружности в точках $K, L, M$ соответственно.
По определению, окружность, касающаяся всех сторон треугольника, является вписанной в этот треугольник. Следовательно, вписанная окружность существует.

2. Единственность.

Допустим, что в треугольник можно вписать еще одну окружность. Тогда ее центр должен быть равноудален от всех трех сторон треугольника. Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых (сторон угла), есть биссектриса этого угла. Следовательно, центр любой вписанной окружности должен лежать на пересечении всех трех биссектрис. Но, как мы доказали, биссектрисы пересекаются только в одной точке $O$. Радиус такой окружности также определен однозначно — он равен расстоянию от точки $O$ до сторон треугольника.
Таким образом, существует только одна точка, которая может быть центром вписанной окружности, и только один возможный радиус. Следовательно, вписанная в треугольник окружность единственна.
Теорема доказана.

Ответ: В любой треугольник можно вписать единственную окружность, центром которой является точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Как следует из доказанной выше теоремы о вписанной окружности, в любой данный треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Единственность следует из того, что центр вписанной окружности должен быть равноудален от всех трех сторон, а этому условию удовлетворяет только одна точка — точка пересечения биссектрис треугольника (инцентр).

Ответ: В данный треугольник можно вписать только одну окружность.