Номер 13, страница 113 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры. Параграф 3. Симметричные фигуры. Вопросы для повторения к главе 5 - номер 13, страница 113.

Условие.

13 Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Формулировка

Теорема о свойстве касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Прямая $a$ касается этой окружности в точке $A$. Необходимо доказать, что прямая $a$ перпендикулярна радиусу $OA$.

Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что радиус $OA$ не перпендикулярен касательной $a$. Это означает, что $OA$ является наклонной, проведенной из точки $O$ к прямой $a$. В таком случае, из точки $O$ можно провести перпендикуляр $OH$ к прямой $a$, где $H$ — точка на прямой $a$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAH$. Так как $OH$ — перпендикуляр к прямой $a$, то угол $\angle OHA$ является прямым ($\angle OHA = 90^\circ$), и, следовательно, треугольник $\triangle OAH$ — прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $OH$ является катетом, а отрезок $OA$ — гипотенузой.

Из свойства прямоугольного треугольника известно, что длина любого катета всегда меньше длины гипотенузы. Таким образом, $OH < OA$.

Поскольку точка $A$ является точкой касания, она принадлежит окружности, а значит, длина отрезка $OA$ равна радиусу окружности: $OA = R$.

Подставив это в наше неравенство, получаем: $OH < R$.

Это неравенство означает, что расстояние от центра окружности $O$ до прямой $a$ (равное длине перпендикуляра $OH$) меньше радиуса $R$. Но если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то эта прямая является секущей, то есть пересекает окружность в двух точках.

Это утверждение вступает в противоречие с первоначальным условием, что прямая $a$ является касательной к окружности и, по определению, имеет с ней только одну общую точку — точку $A$.

Следовательно, наше исходное предположение о том, что $OA$ не перпендикулярен $a$, было неверным. Единственная оставшаяся возможность заключается в том, что радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$.

Теорема доказана.

Ответ: Сформулирована и доказана теорема о свойстве касательной. Формулировка: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство: используется метод от противного; предположение о том, что радиус не перпендикулярен касательной, приводит к выводу, что расстояние от центра до прямой меньше радиуса, что противоречит определению касательной. Следовательно, радиус перпендикулярен касательной.