Номер 336, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 336, страница 103.

336 Докажите, что хорда, не проходящая через центр окружности, меньше диаметра.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, которая по условию не проходит через центр $O$. Диаметр окружности $D$ равен двум радиусам: $D = 2R$.

Соединим концы хорды, точки $A$ и $B$, с центром окружности $O$. В результате мы получим треугольник $OAB$. Так как хорда $AB$ не проходит через центр $O$, точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой, и треугольник $OAB$ является невырожденным.

Стороны этого треугольника — это отрезки $OA$, $OB$ и $AB$. Отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому их длины равны $R$: $OA = R$ и $OB = R$.

Воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применим это свойство к стороне $AB$ треугольника $OAB$: $AB < OA + OB$

Теперь подставим в это неравенство известные нам длины сторон $OA$ и $OB$: $AB < R + R$

Упростив правую часть, получаем: $AB < 2R$

Поскольку диаметр окружности $D$ равен $2R$, мы можем записать окончательное неравенство: $AB < D$

Таким образом, мы доказали, что длина хорды $AB$, не проходящей через центр окружности, строго меньше длины диаметра.

Ответ: Что и требовалось доказать.