Номер 330, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 330, страница 90.

330* Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне AB постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.

Анализ

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ ($\angle A = 90^\circ$). Задача состоит в том, чтобы на катете $AB$ найти такую точку $M$, что расстояние от нее до гипотенузы $BC$ равно длине отрезка $AM$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим $MH$ перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $BC$. Согласно условию задачи, должно выполняться равенство $AM = MH$.

Теперь рассмотрим расстояние от точки $M$ до прямой, содержащей катет $AC$. Так как точка $M$ лежит на катете $AB$, а угол $A$ — прямой, то прямая $AB$ перпендикулярна прямой $AC$ ($AB \perp AC$). Это означает, что отрезок $AM$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $AC$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ в точности равно длине отрезка $AM$.

Таким образом, условие задачи $AM = MH$ можно переписать в следующем виде: расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $BC$.

Как известно из геометрии, геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это биссектриса угла, образованного этими прямыми. В нашем случае точка $M$ должна быть равноудалена от прямых $AC$ и $BC$, которые пересекаются в точке $C$ и образуют угол $\angle ACB$.

Следовательно, искомая точка $M$ должна лежать на биссектрисе угла $\angle ACB$. Поскольку по условию точка $M$ также должна лежать на стороне $AB$, то она является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ и стороны $AB$.

Построение

1. Построить биссектрису угла $\angle ACB$. Для этого с помощью циркуля провести дугу с центром в вершине $C$, которая пересечет стороны $AC$ и $BC$ в некоторых точках.
2. Из полученных точек пересечения на сторонах угла провести две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись во внутренней области угла.
3. Провести луч из вершины $C$ через точку пересечения этих дуг. Построенный луч является биссектрисой угла $\angle ACB$.
4. Точка, в которой биссектриса пересекает сторону $AB$, и будет искомой точкой $M$.

Доказательство

Пусть $M$ — это точка, полученная в результате пересечения биссектрисы угла $\angle ACB$ и стороны $AB$. По построению, $M$ лежит на стороне $AB$. Необходимо доказать, что она удовлетворяет условию задачи, то есть что расстояние от $M$ до прямой $BC$ равно $AM$.

По определению, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ есть длина перпендикуляра $MH$, опущенного из $M$ на $BC$.

Так как точка $M$ лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$, она равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $AC$ и $BC$. Это означает, что расстояние от $M$ до $AC$ равно расстоянию от $M$ до $BC$.

Расстояние от точки $M$, лежащей на прямой $AB$, до прямой $AC$ (при условии, что $AB \perp AC$) равно длине отрезка $AM$.

Следовательно, мы имеем равенство $AM = MH$, что и требовалось доказать. Построенная точка $M$ является решением задачи.

Ответ: Искомая точка $M$ — это точка пересечения биссектрисы угла $C$ треугольника $ABC$ со стороной $AB$.