Номер 330, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Дополнительные задачи - номер 330, страница 90.

Условие.

330* Дан треугольник ABC с прямым углом А. На стороне AB постройте точку М, находящуюся на расстоянии AM от прямой ВС.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Анализ

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $A$ ($\angle A = 90^\circ$). Задача состоит в том, чтобы на катете $AB$ найти такую точку $M$, что расстояние от нее до гипотенузы $BC$ равно длине отрезка $AM$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим $MH$ перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $BC$. Согласно условию задачи, должно выполняться равенство $AM = MH$.

Теперь рассмотрим расстояние от точки $M$ до прямой, содержащей катет $AC$. Так как точка $M$ лежит на катете $AB$, а угол $A$ — прямой, то прямая $AB$ перпендикулярна прямой $AC$ ($AB \perp AC$). Это означает, что отрезок $AM$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на прямую $AC$. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ в точности равно длине отрезка $AM$.

Таким образом, условие задачи $AM = MH$ можно переписать в следующем виде: расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно расстоянию от точки $M$ до прямой $BC$.

Как известно из геометрии, геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, — это биссектриса угла, образованного этими прямыми. В нашем случае точка $M$ должна быть равноудалена от прямых $AC$ и $BC$, которые пересекаются в точке $C$ и образуют угол $\angle ACB$.

Следовательно, искомая точка $M$ должна лежать на биссектрисе угла $\angle ACB$. Поскольку по условию точка $M$ также должна лежать на стороне $AB$, то она является точкой пересечения биссектрисы угла $C$ и стороны $AB$.

Построение

1. Построить биссектрису угла $\angle ACB$. Для этого с помощью циркуля провести дугу с центром в вершине $C$, которая пересечет стороны $AC$ и $BC$ в некоторых точках.
2. Из полученных точек пересечения на сторонах угла провести две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись во внутренней области угла.
3. Провести луч из вершины $C$ через точку пересечения этих дуг. Построенный луч является биссектрисой угла $\angle ACB$.
4. Точка, в которой биссектриса пересекает сторону $AB$, и будет искомой точкой $M$.

Доказательство

Пусть $M$ — это точка, полученная в результате пересечения биссектрисы угла $\angle ACB$ и стороны $AB$. По построению, $M$ лежит на стороне $AB$. Необходимо доказать, что она удовлетворяет условию задачи, то есть что расстояние от $M$ до прямой $BC$ равно $AM$.

По определению, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ есть длина перпендикуляра $MH$, опущенного из $M$ на $BC$.

Так как точка $M$ лежит на биссектрисе угла $\angle ACB$, она равноудалена от сторон этого угла, то есть от прямых $AC$ и $BC$. Это означает, что расстояние от $M$ до $AC$ равно расстоянию от $M$ до $BC$.

Расстояние от точки $M$, лежащей на прямой $AB$, до прямой $AC$ (при условии, что $AB \perp AC$) равно длине отрезка $AM$.

Следовательно, мы имеем равенство $AM = MH$, что и требовалось доказать. Построенная точка $M$ является решением задачи.

Ответ: Искомая точка $M$ — это точка пересечения биссектрисы угла $C$ треугольника $ABC$ со стороной $AB$.