Номер 325, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 325, страница 90.

325* Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Для построения треугольника по стороне $a$, высоте $h_a$, проведённой к этой стороне, и медиане $m_b$, проведённой к одной из двух других сторон, выполним следующие шаги: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Даны сторона $BC$ (длиной $a$), высота $AH_a$ (длиной $h_a$), проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$, и медиана $BM_b$ (длиной $m_b$), где $M_b$ — середина стороны $AC$.

Вершина $A$ должна находиться на расстоянии $h_a$ от прямой, содержащей сторону $BC$. Геометрическим местом точек для вершины $A$ является прямая $p$, параллельная прямой $BC$ и удаленная от нее на расстояние $h_a$.

Рассмотрим положение точки $M_b$. Так как $M_b$ является серединой стороны $AC$, то её расстояние до прямой $BC$ равно половине расстояния от точки $A$ до прямой $BC$. Если опустить перпендикуляры $AH_a$ и $M_bK$ на прямую $BC$, то $M_bK$ будет средней линией в треугольнике $ACH_a$ (или в трапеции, если $C$ не лежит на отрезке $BH_a$). Следовательно, $M_bK = \frac{1}{2}AH_a = \frac{h_a}{2}$. Таким образом, точка $M_b$ лежит на прямой $q$, параллельной $BC$ и удаленной от нее на расстояние $\frac{h_a}{2}$.

Кроме того, точка $M_b$ по определению медианы удалена от вершины $B$ на расстояние $m_b$. Значит, $M_b$ также лежит на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

Таким образом, точка $M_b$ может быть найдена как точка пересечения двух геометрических мест: прямой $q$ и окружности. После нахождения точки $M_b$, а также имея точки $B$ и $C$, можно однозначно определить положение вершины $A$. Так как $M_b$ — середина $AC$, точка $A$ симметрична точке $C$ относительно $M_b$.

Построение

1. Провести произвольную прямую $l$ и отметить на ней точку $B$.
2. С помощью циркуля отложить от точки $B$ на прямой $l$ отрезок $BC$ длиной $a$.
3. Построить прямую $p$, параллельную прямой $l$ на расстоянии $h_a$. Для этого можно восставить в точке $B$ перпендикуляр к $l$, отложить на нем отрезок длиной $h_a$ и через его конец провести прямую, параллельную $l$. На этой прямой будет лежать вершина $A$.
4. Разделить отрезок $h_a$ пополам, получив отрезок длиной $\frac{h_a}{2}$.
5. Построить прямую $q$, параллельную прямой $l$ на расстоянии $\frac{h_a}{2}$ (она будет расположена между прямыми $l$ и $p$). На этой прямой будет лежать точка $M_b$.
6. Построить окружность с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.
7. Найти точку (или точки) пересечения прямой $q$ и построенной окружности. Обозначим одну из этих точек как $M_b$.
8. Провести луч из точки $C$ через точку $M_b$.
9. На этом луче от точки $M_b$ отложить отрезок $M_bA$, равный отрезку $CM_b$. Точка $A$ будет третьей вершиной искомого треугольника.
10. Соединить точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $a$.

Точка $M_b$ по построению является серединой отрезка $AC$. Значит, отрезок $BM_b$ — медиана к стороне $AC$. Длина медианы $BM_b$ равна $m_b$, так как точка $M_b$ была построена на окружности с центром в $B$ и радиусом $m_b$.

Докажем, что высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, равна $h_a$. По построению, точка $M_b$ лежит на прямой $q$, удаленной от прямой $BC$ на расстояние $\frac{h_a}{2}$. Пусть $AH_a$ и $M_bK$ — перпендикуляры, опущенные из точек $A$ и $M_b$ на прямую $BC$. Тогда $M_bK = \frac{h_a}{2}$. В треугольнике $ACH_a$ отрезок $M_bK$ параллелен $AH_a$ и соединяет середину стороны $AC$ (точку $M_b$) с точкой $K$ на стороне $CH_a$. По теореме о средней линии треугольника (или по теореме Фалеса), $M_bK = \frac{1}{2}AH_a$. Отсюда следует, что $AH_a = 2 \cdot M_bK = 2 \cdot \frac{h_a}{2} = h_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Возможность построения треугольника зависит от возможности нахождения точки $M_b$, то есть от наличия точек пересечения прямой $q$ и окружности с центром $B$ и радиусом $m_b$. Расстояние от центра окружности (точки $B$, лежащей на прямой $l$) до прямой $q$ равно $\frac{h_a}{2}$.

• Если $m_b < \frac{h_a}{2}$, то радиус окружности меньше расстояния от ее центра до прямой $q$. Окружность и прямая не пересекаются, и решений нет.
• Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, окружность касается прямой $q$ в одной точке. Эта точка и будет точкой $M_b$. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до выбора полуплоскости относительно прямой $BC$).
• Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, окружность пересекает прямую $q$ в двух точках. Каждая из этих точек ($M_{b1}$ и $M_{b2}$) дает свое решение — треугольник $A_1BC$ и $A_2BC$. В общем случае эти два треугольника не конгруэнтны. Таким образом, задача имеет два различных решения.

Ответ: Задача имеет решение, если $m_b \ge \frac{h_a}{2}$. Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, решение единственно. Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, существует два различных решения (два неконгруэнтных треугольника).