Номер 323, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 323, страница 90.

323 Постройте прямоугольный треугольник по:

а) гипотенузе и острому углу;

б) катету и противолежащему углу;

в) гипотенузе и катету.

а) гипотенузе и острому углу;

Пусть даны отрезок, равный по длине гипотенузе $c$, и угол, равный острому углу $\alpha$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB=c$ и острым углом $\angle A = \alpha$.

Анализ: В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Если один острый угол равен $\alpha$, то второй острый угол равен $90^\circ - \alpha$. Таким образом, мы можем построить треугольник по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам ($\alpha$ и $90^\circ - \alpha$).

План построения:

1. Построим отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.

2. От луча $AB$ построим угол $\angle BAK$, равный данному острому углу $\alpha$.

3. Построим угол, равный $90^\circ - \alpha$. Для этого построим прямой угол, отложим от его вершины данный угол $\alpha$; оставшаяся часть прямого угла будет искомым углом.

4. От луча $BA$ построим угол $\angle ABD$, равный построенному углу $90^\circ - \alpha$.

5. Лучи $AK$ и $BD$ пересекутся в точке $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: По построению сторона $AB=c$ и $\angle A = \alpha$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + 90^\circ - \alpha) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с заданными гипотенузой и острым углом.

Ответ: Построение основано на построении треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

б) катету и противолежащему углу;

Пусть даны отрезок, равный катету $a$, и угол, равный противолежащему ему острому углу $\alpha$. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC=a$ и углом $\angle A=\alpha$.

Анализ: Мы знаем катет $BC$, противолежащий ему угол $\angle A = \alpha$ и прямой угол $\angle C = 90^\circ$. Третий угол $\angle B$ можно найти: $\angle B = 90^\circ - \alpha$. Таким образом, мы можем построить треугольник по стороне (катету $BC$) и двум прилежащим к ней углам ($\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 90^\circ - \alpha$).

План построения:

1. Построим прямой угол и обозначим его вершину буквой $C$.

2. На одной из сторон прямого угла отложим от вершины отрезок $CB$, равный данному катету $a$.

3. Построим угол, равный $90^\circ - \alpha$.

4. От луча $CB$ построим угол $\angle CBA$, равный построенному углу $90^\circ - \alpha$, так, чтобы его вторая сторона пересекала другую сторону прямого угла $C$.

5. Точку пересечения обозначим буквой $A$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: По построению $\angle C = 90^\circ$ и катет $BC = a$. Угол $\angle B$ построен равным $90^\circ - \alpha$. Так как сумма углов треугольника $180^\circ$, то $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$. Угол $\angle A$ противолежит катету $BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение основано на построении треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

в) гипотенузе и катету.

Пусть даны два отрезка, равные гипотенузе $c$ и катету $a$ (причем $c > a$). Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, катетом $BC=a$ и гипотенузой $AB=c$.

Анализ: Мы можем построить прямой угол $\angle C$. На одной его стороне отложить катет $BC=a$. Вершина $A$ будет лежать на другой стороне прямого угла. Расстояние от вершины $B$ до вершины $A$ должно быть равно гипотенузе $c$. Точку $A$ можно найти как пересечение стороны угла и окружности с центром в точке $B$ и радиусом $c$.

План построения:

1. Построим прямую $l$ и выберем на ней точку $C$.

2. Построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$ и проходящую через точку $C$.

3. На прямой $m$ отложим от точки $C$ отрезок $CB$, равный катету $a$.

4. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным гипотенузе $c$.

5. Эта окружность пересечет прямую $l$ в точке $A$. (Задача имеет решение, если $c > a$, что является необходимым условием для существования такого треугольника).

6. Соединим точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $\angle C = 90^\circ$. Катет $BC$ равен $a$ по построению. Сторона $AB$, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой, и ее длина равна $c$ по построению (как радиус окружности). Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение основано на построении прямого угла и использовании окружности для нахождения третьей вершины.