Номер 322, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 322, страница 90.

322* Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Задача состоит в том, чтобы построить треугольник, зная длины двух его сторон и медианы, проведенной к третьей стороне. Обозначим данные длины сторон как $a$ и $b$, а длину медианы как $m_c$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AC = b$, $BC = a$, и $CM = m_c$ — медиана, проведенная к стороне $AB$. Это значит, что точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Применим метод достроения. Продлим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $CM = MD$. Таким образом, $CD = 2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $AM = MB$. По нашему построению, $CM = MD$. Поскольку диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Его стороны нам известны:

• $AC = b$ (дано)
• $AD = a$ (как противоположная сторона $BC$ в параллелограмме)
• $CD = 2m_c$ (по построению)

Таким образом, мы можем построить треугольник $ACD$ по трем сторонам. Построив его, мы легко найдем и вершину $B$ исходного треугольника.

Построение

1. Строим отрезок $CD$ длиной, равной удвоенной длине медианы, то есть $CD = 2m_c$.
2. Из точки $C$ как из центра проводим окружность радиусом $b$ (длина одной из данных сторон).
3. Из точки $D$ как из центра проводим окружность радиусом $a$ (длина другой данной стороны).
4. Точку пересечения этих двух окружностей обозначаем как $A$. Треугольник $ACD$ построен. (Если окружности не пересекаются, решения нет. Если касаются, решение одно, вырожденное).
5. Находим середину отрезка $CD$. Это будет точка $M$. Для этого можно построить серединный перпендикуляр к $CD$.
6. Проводим луч $AM$.
7. На луче $AM$ за точкой $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $AM$.
8. Соединяем точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном нами треугольнике $ABC$:

1. Сторона $AC$ по построению равна $b$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $b$.
2. Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По построению $CM=MD = m_c$ (так как $M$ - середина $CD$) и $AM=MB$ (так как мы отложили $MB=AM$). Следовательно, $ADBC$ — параллелограмм.
3. В параллелограмме $ADBC$ противоположные стороны равны, значит $BC = AD$. Длина $AD$ по построению равна $a$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $a$. Таким образом, $BC = a$.
4. Так как $M$ — середина отрезка $AB$, то отрезок $CM$ является медианой треугольника $ABC$. Его длина $CM = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}(2m_c) = m_c$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет две стороны, равные $a$ и $b$, и медиану к третьей стороне, равную $m_c$. Что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ACD$ со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$. Для этого необходимо, чтобы для этих трех длин выполнялось неравенство треугольника:

• $a + b > 2m_c$
• $a + 2m_c > b$
• $b + 2m_c > a$

Если эти условия выполняются, то окружности в пункте 4 построения пересекутся в двух точках (симметричных относительно прямой $CD$), что приведет к двум конгруэнтным треугольникам. Следовательно, задача будет иметь единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если одна из сумм равна третьей стороне (например, $a+b = 2m_c$), треугольник $ACD$ будет вырожденным (все три вершины лежат на одной прямой), и решение будет также вырожденным. Если неравенство треугольника не выполняется, окружности не пересекутся, и задача не будет иметь решений.

Ответ: Построение треугольника основано на достроении его до параллелограмма. Вспомогательный треугольник строится по трем сторонам: $a$, $b$ и $2m_c$. Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если для длин $a$, $b$ и $2m_c$ выполняется неравенство треугольника.