Номер 315, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Дополнительные задачи - номер 315, страница 90.

Условие.

315 Докажите что, каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Это утверждение является следствием неравенства треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Доказательство:

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$.
Согласно неравенству треугольника, справедливы следующие три соотношения:

1. $a + b > c$
2. $b + c > a$
3. $a + c > b$

Нам необходимо доказать, что любая сторона больше модуля разности двух других сторон. Докажем это для стороны $a$, то есть докажем, что $a > |b - c|$. Аналогично это будет доказываться и для других сторон.

Рассмотрим неравенство (3): $a + c > b$.
Вычтем из обеих частей неравенства $c$:
$a + c - c > b - c$
$a > b - c$

Теперь рассмотрим неравенство (1): $a + b > c$.
Вычтем из обеих частей неравенства $b$:
$a + b - b > c - b$
$a > c - b$

Таким образом, мы получили два неравенства:
$a > b - c$
$a > c - b$

Если $b \ge c$, то разность $b - c$ неотрицательна, и $|b - c| = b - c$. Из доказанного неравенства $a > b - c$ следует, что $a > |b - c|$.

Если $b < c$, то разность $b - c$ отрицательна, и $|b - c| = -(b - c) = c - b$. Из доказанного неравенства $a > c - b$ следует, что $a > |b - c|$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что $a > |b - c|$.

Аналогично, исходя из тех же трех основных неравенств, можно доказать, что $b > |a - c|$ и $c > |a - b|$.

Таким образом, каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для произвольного треугольника со сторонами $a, b, c$ из неравенства треугольника ($a+b>c$, $b+c>a$, $a+c>b$) путем алгебраических преобразований выводится, что $a > b-c$ и $a > c-b$, что в совокупности означает $a > |b-c|$. Аналогично доказывается для сторон $b$ и $c$.