Номер 318, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 318, страница 90.

318 В треугольнике с неравными сторонами AB и АС (AB > АС) проведены высота AH и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AB > AC$. Из вершины $A$ проведены высота $AH$ (где $H$ лежит на прямой $BC$) и биссектриса $AD$ (где $D$ лежит на отрезке $BC$). Необходимо доказать, что $\angle HAD$ равен полуразности углов $B$ и $C$.

Так как в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, из условия $AB > AC$ следует, что $\angle C > \angle B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, в котором $\angle AHB = 90^\circ$ (поскольку $AH$ — высота). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, следовательно:$\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.

Поскольку $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит его пополам:$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^\circ$, то есть $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Выразим отсюда угол $\angle BAC$:$\angle BAC = 180^\circ - \angle B - \angle C$.

Теперь подставим это выражение в формулу для $\angle BAD$:$\angle BAD = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B - \angle C) = 90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2}$.

Так как мы доказали, что $\angle C > \angle B$, отсюда следует, что $90^\circ - \angle B > 90^\circ - \angle C$. Учитывая, что $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$ и $\angle CAH = 90^\circ - \angle C$, получаем $\angle BAH > \angle CAH$. Это означает, что высота $AH$ расположена ближе к стороне $AC$. Биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ пополам, поэтому она будет расположена между лучами $AH$ и $AC$. Следовательно, искомый угол $\angle HAD$ можно найти как разность $\angle BAH$ и $\angle BAD$.

$\angle HAD = \angle BAH - \angle BAD$

Подставим найденные ранее выражения для этих углов:$\angle HAD = (90^\circ - \angle B) - (90^\circ - \frac{\angle B + \angle C}{2})$
$\angle HAD = 90^\circ - \angle B - 90^\circ + \frac{\angle B + \angle C}{2}$
$\angle HAD = \frac{\angle B + \angle C}{2} - \angle B$
$\angle HAD = \frac{\angle B + \angle C - 2\angle B}{2}$
$\angle HAD = \frac{\angle C - \angle B}{2}$

Таким образом, мы доказали, что угол $HAD$ равен полуразности углов $C$ и $B$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Угол между высотой $AH$ и биссектрисой $AD$ равен $\frac{\angle C - \angle B}{2}$, то есть полуразности углов при основании $BC$.