Номер 317, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 317, страница 90.

317 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой AB.

По условию задачи, дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$. Длина боковой стороны составляет 37 см, то есть $BC = 37$ см.

Внешний угол при вершине $B$ и внутренний угол треугольника $\angle ABC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Расстояние от вершины $C$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $CH$, где $H$ — точка на прямой $AB$. Таким образом, нам нужно найти длину отрезка $CH$.

Так как угол $\angle ABC = 120^\circ$ является тупым, то основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении стороны $AB$ за вершину $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CBH$. Он является прямоугольным, так как $CH \perp AB$ по построению, следовательно, $\angle CHB = 90^\circ$. Угол $\angle CBH$ смежен с углом $\angle ABC$, поэтому он равен данному в условии внешнему углу при вершине $B$, то есть $\angle CBH = 60^\circ$. Гипотенуза в этом треугольнике — это сторона $BC = 37$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle CBH$ катет $CH$ лежит напротив угла $\angle CBH$. Мы можем найти его длину, используя определение синуса:
$\sin(\angle CBH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{BC}$

Выразим из этой формулы искомую длину $CH$:
$CH = BC \cdot \sin(\angle CBH)$

Подставим известные значения:
$CH = 37 \cdot \sin(60^\circ)$

Зная, что значение $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$CH = 37 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{37\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{37\sqrt{3}}{2}$ см.