Номер 321, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Параграф 4. Построение треугольника по трём элементам. Дополнительные задачи - номер 321, страница 90.

Условие.

321 Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведен отрезок $BD$, где $D$ — это точка на стороне $AC$. Требуется доказать, что отрезок $BD$ меньше большей из двух других сторон, то есть $BD < \max(AB, BC)$.

Рассмотрим углы, которые отрезок $BD$ образует со стороной $AC$. Это смежные углы $\angle BDA$ и $\angle BDC$. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle BDA + \angle BDC = 180^\circ $$

Так как сумма двух этих углов равна $180^\circ$, по крайней мере один из них должен быть не острым, то есть его градусная мера должна быть больше или равна $90^\circ$. Если бы оба угла были острыми (с мерой меньше $90^\circ$), их сумма была бы меньше $180^\circ$, что противоречило бы их свойству смежных углов.

Рассмотрим два возможных случая, которые охватывают все возможные положения точки $D$:

1. Угол $\angle BDA \ge 90^\circ$.
В этом случае в треугольнике $ABD$ угол $\angle BDA$ является наибольшим (так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, два других угла, $\angle A$ и $\angle ABD$, должны быть острыми). В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, сторона $AB$, лежащая напротив угла $\angle BDA$, будет больше стороны $BD$. Таким образом, мы имеем неравенство $AB > BD$.

2. Угол $\angle BDC \ge 90^\circ$.
Аналогично, в треугольнике $CBD$ угол $\angle BDC$ будет наибольшим. Следовательно, сторона $BC$, лежащая напротив этого угла, будет больше стороны $BD$. Таким образом, мы имеем неравенство $BC > BD$.

Поскольку один из этих двух случаев ($\angle BDA \ge 90^\circ$ или $\angle BDC \ge 90^\circ$) обязательно имеет место, мы можем утверждать, что отрезок $BD$ всегда меньше хотя бы одной из сторон $AB$ или $BC$.

Если отрезок $BD$ меньше хотя бы одной из сторон $AB$ или $BC$, то он тем более будет меньше большей из этих двух сторон. То есть, $BD < \max(AB, BC)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.