Номер 326, страница 90 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 326, страница 90.

326 Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах AB и ВС и DE = AD + СЕ.

Анализ и план построения

По условию задачи, нам необходимо построить отрезок $DE$, который удовлетворяет трем условиям:

1. Точка $D$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ — на стороне $BC$.
2. Отрезок $DE$ параллелен стороне $AC$ ($DE \parallel AC$).
3. Длина отрезка $DE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $CE$ ($DE = AD + CE$).

Ключевым является условие $DE = AD + CE$. Давайте проанализируем его с учетом того, что $DE \parallel AC$.

Предположим, искомый отрезок $DE$ построен. Разделим его на две части некоторой точкой $I$, так что $DE = DI + IE$. Если нам удастся показать, что можно построить отрезок так, чтобы $DI = AD$ и $IE = CE$, то условие задачи будет выполнено.

Рассмотрим треугольник $ADI$. Равенство $DI = AD$ возможно, если этот треугольник является равнобедренным, то есть если $\angle DAI = \angle DIA$.

Рассмотрим треугольник $CEI$. Аналогично, равенство $IE = CE$ будет верным, если $\angle ECI = \angle EIC$.

Условие $DE \parallel AC$ дает нам равенство накрест лежащих углов при секущих. Если мы проведем прямую $AI$, то $\angle DIA$ и $\angle IAC$ будут накрест лежащими углами при параллельных прямых $DE$ и $AC$ и секущей $AI$. Следовательно, $\angle DIA = \angle IAC$.

Чтобы выполнялось равенство $\angle DAI = \angle DIA$, необходимо, чтобы $\angle DAI = \angle IAC$. Это означает, что прямая $AI$ должна быть биссектрисой угла $BAC$.

Аналогично, если мы проведем прямую $CI$, то $\angle EIC = \angle ICA$ (накрест лежащие углы при $DE \parallel AC$ и секущей $CI$). Для того чтобы треугольник $CEI$ был равнобедренным с основанием $CI$, нужно чтобы $\angle ECI = \angle EIC$, а значит, $\angle ECI = \angle ICA$. То есть прямая $CI$ должна быть биссектрисой угла $BCA$.

Таким образом, точка $I$, через которую проходит искомый отрезок $DE$, является точкой пересечения биссектрис углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ (эта точка является центром вписанной в треугольник окружности, или инцентром).

Отсюда вытекает следующий план построения:

1. Найти точку пересечения биссектрис углов $A$ и $C$.
2. Через эту точку провести прямую, параллельную стороне $AC$.
3. Точки пересечения этой прямой со сторонами $AB$ и $BC$ будут искомыми точками $D$ и $E$.

Построение и доказательство

Выполним построение с помощью циркуля и линейки:

1. Строим биссектрису угла $BAC$. Для этого из вершины $A$ проводим дугу окружности произвольного радиуса, пересекающую стороны $AB$ и $AC$. Из точек пересечения строим две дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку пересечения дуг, является биссектрисой угла $A$.
2. Аналогично строим биссектрису угла $BCA$.
3. Находим точку $I$ — точку пересечения построенных биссектрис.
4. Строим прямую, проходящую через точку $I$ и параллельную прямой $AC$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $D$ и сторону $BC$ в точке $E$.

Отрезок $DE$ является искомым.

Доказательство:

По построению, отрезок $DE$ параллелен прямой $AC$, и точки $D$ и $E$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Нам осталось доказать, что $DE = AD + CE$.

Точка $I$ (пересечение биссектрис) лежит на отрезке $DE$.

Рассмотрим треугольник $ADI$.

• $AI$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle DAI = \angle IAC$.
• Так как $DE \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $AI$ равны: $\angle DIA = \angle IAC$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle DAI = \angle DIA$.
• Следовательно, треугольник $ADI$ является равнобедренным с основанием $AI$. Отсюда $AD = DI$.

Рассмотрим треугольник $CEI$.

• $CI$ — биссектриса угла $C$, поэтому $\angle ECI = \angle ICA$.
• Так как $DE \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $CI$ равны: $\angle EIC = \angle ICA$.
• Из этих двух равенств следует, что $\angle ECI = \angle EIC$.
• Следовательно, треугольник $CEI$ является равнобедренным с основанием $CI$. Отсюда $CE = EI$.

Длина отрезка $DE$ равна сумме длин его частей: $DE = DI + IE$.

Подставляя найденные равенства, получаем: $DE = AD + CE$.

Все условия задачи выполнены. Построение верно.

Ответ:

Для построения искомого отрезка $DE$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$.
2. Найти точку их пересечения $I$.
3. Через точку $I$ провести прямую, параллельную стороне $AC$.
4. Точки пересечения этой прямой со сторонами $AB$ и $BC$ и будут являться концами искомого отрезка $D$ и $E$.