Номер 342, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 342, страница 103.

342 Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды этой окружности.

Расстояние от центра окружности до хорды определяется как длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведем перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$.

По условию задачи хорды равноудалены от центра, что означает, что длины этих перпендикуляров равны: $OH = OK$. Требуется доказать, что хорды равны, то есть $AB = CD$.

Для доказательства рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. В этих треугольниках гипотенузы $OA$ и $OC$ равны, так как обе являются радиусами окружности ($OA = OC = R$). Катеты $OH$ и $OK$ также равны по условию задачи ($OH = OK$).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету), $\triangle OHA = \triangle OKC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $AH$ и $CK$: $AH = CK$.

Известно, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой хорды $AB$, и $AB = 2 \cdot AH$. Аналогично, точка $K$ является серединой хорды $CD$, и $CD = 2 \cdot CK$.

Поскольку $AH = CK$, то и $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$. Это означает, что $AB = CD$.

Таким образом, доказано, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Ответ: Утверждение доказано.