Номер 345, страница 103 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 345, страница 103.

345 Докажите, что касательные, проведённые через концы диаметра окружности, параллельны.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем через точки $A$ и $B$ касательные к окружности, назовем их $a$ и $b$ соответственно.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Для точки $A$ радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$. Это значит, что угол между прямой $a$ и прямой $AB$ равен $90^\circ$, то есть $a \perp AB$.

Аналогично, для точки $B$ радиус $OB$ перпендикулярен касательной $b$. Это значит, что угол между прямой $b$ и прямой $AB$ равен $90^\circ$, то есть $b \perp AB$.

Мы получили, что две прямые ($a$ и $b$) перпендикулярны одной и той же третьей прямой ($AB$).

По теореме о признаке параллельности двух прямых: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Следовательно, $a \parallel b$. Утверждение доказано.

Ответ: Касательные, проведенные через концы диаметра окружности, параллельны, так как они обе перпендикулярны этому диаметру.