Номер 358, страница 104 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Окружность. Касательная к окружности. 43. Вписанная и описанная окружности треугольника. Глава 5. Геометрические места точек. Симметричные фигуры - номер 358, страница 104.

358 Постройте касательную к данной окружности, параллельную к данной прямой.

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах касательной к окружности.

Анализ

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и прямая $a$. Нам нужно построить касательную $b$ к окружности $\omega$, которая параллельна прямой $a$.
Основное свойство касательной заключается в том, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Пусть $M$ — точка касания искомой прямой $b$ с окружностью. Тогда радиус $OM$ должен быть перпендикулярен касательной $b$ ($OM \perp b$).
По условию, касательная $b$ должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Следовательно, если $b \parallel a$ и $OM \perp b$, то $OM \perp a$.
Таким образом, точка касания $M$ должна лежать на прямой, проходящей через центр окружности $O$ и перпендикулярной данной прямой $a$. Это наблюдение является ключом к построению.

Построение

1. Проведем через центр окружности $O$ прямую $d$, перпендикулярную данной прямой $a$. Это базовое построение с помощью циркуля и линейки (из точки, не лежащей на прямой, опускается перпендикуляр на эту прямую).

2. Построенная прямая $d$ пересечет окружность в двух диаметрально противоположных точках. Назовем их $M_1$ и $M_2$. Эти точки и будут искомыми точками касания.

3. Через точку $M_1$ проведем прямую $b_1$, перпендикулярную прямой $d$ (а значит, и радиусу $OM_1$).

4. Аналогично, через точку $M_2$ проведем прямую $b_2$, перпендикулярную прямой $d$ (радиусу $OM_2$).

Прямые $b_1$ и $b_2$ являются искомыми касательными.

Доказательство

Докажем, что построенные прямые $b_1$ и $b_2$ удовлетворяют условиям задачи.
1. Прямая $b_1$ проходит через точку $M_1$ на окружности и по построению перпендикулярна радиусу $OM_1$. По определению, прямая, перпендикулярная радиусу в его точке, лежащей на окружности, является касательной к этой окружности. Следовательно, $b_1$ — касательная.
2. По построению, прямая $d \perp a$ и прямая $b_1 \perp d$. По теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, прямые $a$ и $b_1$ параллельны ($a \parallel b_1$).
Таким образом, прямая $b_1$ является касательной к окружности и параллельна прямой $a$. Аналогичные рассуждения верны и для прямой $b_2$.
Задача всегда имеет два решения, так как прямая, проходящая через центр окружности, пересекает ее в двух точках.

Ответ: Задача решается путем построения диаметра, перпендикулярного данной прямой. Через концы этого диаметра проводятся прямые, перпендикулярные ему. Эти две прямые и являются искомыми касательными. Задача всегда имеет два решения.