Номер 307, страница 89 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Построение треугольника по трём элементам. Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника - номер 307, страница 89.

307 На рисунке 152 AB=АС, AP=PQ=QR=RB=BC. Найдите угол А.

Решение:

В условии задачи указано, что точка $R$ находится на отрезке $BC$, и при этом длина отрезка $RB$ равна длине всего отрезка $BC$. Такое возможно только в одном случае: если точка $R$ совпадает с точкой $C$. При этом условии равенство $AP = PQ = QR = RB = BC$ преобразуется в $AP = PQ = QC = BC$. Будем решать задачу с этим условием.

Обозначим искомый угол $?A$ как $?$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = AC$), углы при его основании равны: $?B = ?C = \frac{180° - ?}{2}$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $APQ$, в котором по условию $AP = PQ$. Углы при основании $AQ$ равны, следовательно, $?PQA = ?PAQ = ?$.

Теперь рассмотрим треугольник $PQC$. В нем $PQ = QC$, значит, он тоже равнобедренный с основанием $PC$. Углы при основании $PC$ равны: $?QPC = ?QCP$. Угол $?QCP$ — это и есть угол $?C$ треугольника $ABC$, поэтому $?QPC = ?C = \frac{180° - ?}{2}$. Угол при вершине $Q$ в этом треугольнике, $?PQC$, равен $180° - 2 \cdot \frac{180° - ?}{2} = 180° - (180° - ?) = ?$.

Угол $?AQC$ на стороне $AC$ складывается из двух углов: $?PQA$ и $?PQC$. Таким образом, $?AQC = ?PQA + ?PQC = ? + ? = 2?$.

Далее рассмотрим треугольник $BQC$. По условию $BC = QC$, он является равнобедренным с основанием $BQ$. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол, противолежащий стороне $BC$, — это $?BQC$. Угол, противолежащий стороне $QC$, — это $?QBC$ (то есть $?B$). Следовательно, $?BQC = ?B$.

Мы получили два разных выражения для одного и того же угла $?BQC$:
1. Из геометрии точки $Q$ на стороне $AC$: $?BQC = 2?$.
2. Из свойств равнобедренного треугольника $BQC$: $?BQC = ?B = \frac{180° - ?}{2}$.

Приравняем эти два выражения и решим полученное уравнение:

$2? = \frac{180° - ?}{2}$

$4? = 180° - ?$

$5? = 180°$

$? = \frac{180°}{5}$

$? = 36°$

Ответ: $36°$.