Номер 379, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Уравнение с двумя переменными и его график. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 379, страница 116.

Условие.

379. Составьте уравнение двух концентрических окружностей, радиусы которых равны 2 и 5 и общий центр которых находится:

а) в начале координат;

б) в точке (3; 0);

в) в точке (0; 4);

г) в точке (–1; 2).

Решение 1.

Решение 8.

Для решения этой задачи воспользуемся общим уравнением окружности с центром в точке $(h; k)$ и радиусом $r$:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

По условию, у нас есть две концентрические окружности, что означает, что у них общий центр $(h; k)$. Радиусы окружностей равны $r_1 = 2$ и $r_2 = 5$. Нам нужно составить уравнения для каждой из четырех заданных точек центра.

а) Общий центр находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$.

Подставляем координаты центра $(h=0, k=0)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$x^2 + y^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$x^2 + y^2 = 25$

Ответ: $x^2 + y^2 = 4$ и $x^2 + y^2 = 25$.

б) Общий центр находится в точке $(3; 0)$.

Подставляем координаты центра $(h=3, k=0)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 2^2$

$(x - 3)^2 + y^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$(x - 3)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + y^2 = 4$ и $(x - 3)^2 + y^2 = 25$.

в) Общий центр находится в точке $(0; 4)$.

Подставляем координаты центра $(h=0, k=4)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 2^2$

$x^2 + (y - 4)^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 5^2$

$x^2 + (y - 4)^2 = 25$

Ответ: $x^2 + (y - 4)^2 = 4$ и $x^2 + (y - 4)^2 = 25$.

г) Общий центр находится в точке $(-1; 2)$.

Подставляем координаты центра $(h=-1, k=2)$ в общее уравнение.

Для первой окружности с радиусом $r_1 = 2$ уравнение будет:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Для второй окружности с радиусом $r_2 = 5$ уравнение будет:

$(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 5^2$

$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$ и $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$.