Номер 380, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Уравнение с двумя переменными и его график. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 380, страница 116.

Условие.

380. Две концентрические окружности, заданные уравнениями x² + y² = 9 и x² + y² = 16, делят плоскость на три области: кольцо, ограниченное окружностями, часть плоскости, ограниченную малой окружностью, и часть плоскости, находящуюся за пределами круга, ограниченного большой окружностью. В какой из трёх областей расположены точки: M(5; 5), N(1; –2), P(3,6; 0), Q(4,001; –0,5)? Сделайте схематический рисунок.

Решение 1.

Решение 8.

Данные уравнения $x^2 + y^2 = 9$ и $x^2 + y^2 = 16$ описывают две концентрические окружности с центром в начале координат (0, 0).

Малая окружность имеет уравнение $x^2 + y^2 = 9$, следовательно, ее радиус $R_1 = \sqrt{9} = 3$.

Большая окружность имеет уравнение $x^2 + y^2 = 16$, следовательно, ее радиус $R_2 = \sqrt{16} = 4$.

Эти окружности делят плоскость на три области:

1. Часть плоскости, ограниченная малой окружностью (внутренность малого круга). Для точек $(x; y)$ в этой области выполняется неравенство $x^2 + y^2 < 9$.
2. Кольцо, ограниченное окружностями. Для точек $(x; y)$ в этой области выполняется двойное неравенство $9 < x^2 + y^2 < 16$.
3. Часть плоскости за пределами большого круга. Для точек $(x; y)$ в этой области выполняется неравенство $x^2 + y^2 > 16$.

Чтобы определить, в какой из областей находится каждая точка, нужно подставить ее координаты в выражение $x^2 + y^2$ и сравнить результат с числами 9 и 16.

Точка M(5; 5)

Подставляем координаты точки M в выражение $x^2 + y^2$:
$5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
Сравниваем результат с 9 и 16: $50 > 16$.
Следовательно, точка M находится за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Ответ: Точка M(5; 5) расположена за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Точка N(1; –2)

Подставляем координаты точки N в выражение $x^2 + y^2$:
$1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.
Сравниваем результат с 9: $5 < 9$.
Следовательно, точка N находится в части плоскости, ограниченной малой окружностью.

Ответ: Точка N(1; –2) расположена в части плоскости, ограниченной малой окружностью.

Точка P(3,6; 0)

Подставляем координаты точки P в выражение $x^2 + y^2$:
$(3,6)^2 + 0^2 = 12,96$.
Сравниваем результат с 9 и 16: $9 < 12,96 < 16$.
Следовательно, точка P находится в кольце, ограниченном окружностями.

Ответ: Точка P(3,6; 0) расположена в кольце, ограниченном окружностями.

Точка Q(4,001; –0,5)

Подставляем координаты точки Q в выражение $x^2 + y^2$:
$(4,001)^2 + (-0,5)^2 = 16,008001 + 0,25 = 16,258001$.
Сравниваем результат с 16: $16,258001 > 16$.
Следовательно, точка Q находится за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Ответ: Точка Q(4,001; –0,5) расположена за пределами круга, ограниченного большой окружностью.

Схематический рисунок

На рисунке изображены две концентрические окружности с центром в начале координат и радиусами 3 и 4. Также отмечены точки M, N, P и Q.