Номер 377, страница 116 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 19. Уравнение с двумя переменными и его график - номер 377, страница 116.

Условие.

377. Составьте уравнения окружностей, симметричных окружности (x – 2)² + (y + 3)² = 9 относительно оси абсцисс; относительно оси ординат; относительно начала координат.

Решение 1.

Решение 8.

Исходное уравнение окружности: $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$.
Это уравнение является стандартным уравнением окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.
Из данного уравнения находим, что центр исходной окружности находится в точке $C(2, -3)$, а её радиус $r = \sqrt{9} = 3$.
При симметричном отображении окружности её радиус не изменяется. Изменяется только положение центра. Поэтому для нахождения уравнений симметричных окружностей нам нужно найти новые координаты центра и использовать тот же радиус.

относительно оси абсцисс
При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(x, -y)$.
Следовательно, центр исходной окружности $C(2, -3)$ отобразится в новый центр $C_1(2, -(-3))$, то есть в точку $C_1(2, 3)$.
Радиус окружности остаётся равным 3.
Составляем уравнение новой окружности с центром в $C_1(2, 3)$ и радиусом $r = 3$:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 3^2$
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$
Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$

относительно оси ординат
При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(-x, y)$.
Следовательно, центр исходной окружности $C(2, -3)$ отобразится в новый центр $C_2(-2, -3)$.
Радиус окружности остаётся равным 3.
Составляем уравнение новой окружности с центром в $C_2(-2, -3)$ и радиусом $r = 3$:
$(x - (-2))^2 + (y - (-3))^2 = 3^2$
$(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$
Ответ: $(x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 9$

относительно начала координат
При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x, y)$ отображается в точку с координатами $(-x, -y)$.
Следовательно, центр исходной окружности $C(2, -3)$ отобразится в новый центр $C_3(-2, -(-3))$, то есть в точку $C_3(-2, 3)$.
Радиус окружности остаётся равным 3.
Составляем уравнение новой окружности с центром в $C_3(-2, 3)$ и радиусом $r = 3$:
$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 3^2$
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$
Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 9$