Номер 384, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 384, страница 121.

Условие.

384. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 8.

a) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x - y = 3; \end{cases} $
Это система, состоящая из одного нелинейного и одного линейного уравнения. Удобно использовать метод подстановки.
1. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = y + 3$
2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(y + 3)^2 + y^2 = 9$
3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 9$
$2y^2 + 6y = 0$
Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:
$2y(y + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$2y = 0 \implies y_1 = 0$
или
$y + 3 = 0 \implies y_2 = -3$
4. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = y + 3$:
При $y_1 = 0$, $x_1 = 0 + 3 = 3$.
При $y_2 = -3$, $x_2 = -3 + 3 = 0$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(3; 0)$, $(0; -3)$.

б) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12; \end{cases} $
Применим метод подстановки.
1. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = y + 4$
2. Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)y = 12$
3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$y^2 + 4y = 12$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
Найдем корни уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-12$. Это числа $-6$ и $2$.
Либо через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{2}$
$y_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
4. Найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 4$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 4 = 6$.
При $y_2 = -6$, $x_2 = -6 + 4 = -2$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(6; 2)$, $(-2; -6)$.

в) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + y^2 = 10. \end{cases} $
Используем метод подстановки.
1. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$ (это проще, чем выражать $x$):
$y = 2x + 1$
2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$x + (2x + 1)^2 = 10$
3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:
$x + (4x^2 + 4x + 1) = 10$
$4x^2 + 5x + 1 - 10 = 0$
$4x^2 + 5x - 9 = 0$
Решим уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm 13}{8}$
$x_1 = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-5 - 13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$
4. Найдем соответствующие значения $y$ из формулы $y = 2x + 1$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 2(1) + 1 = 3$.
При $x_2 = -\frac{9}{4}$, $y_2 = 2(-\frac{9}{4}) + 1 = -\frac{9}{2} + 1 = -\frac{9}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{7}{2}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(1; 3)$, $(-\frac{9}{4}; -\frac{7}{2})$.