Номер 389, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

389. Решите систему уравнений:

а)Дана система уравнений:$ \begin{cases} y^2 + 2x - 4y = 0 \\ 2y - x = 2 \end{cases} $
Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$2y - x = 2 \implies x = 2y - 2$.
Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$y^2 + 2(2y - 2) - 4y = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 4y - 4 - 4y = 0$
$y^2 - 4 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его:
$y^2 = 4$
$y_1 = 2$, $y_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = 2y - 2$:
1. При $y_1 = 2$:
$x_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.
Первое решение системы: $(2, 2)$.
2. При $y_2 = -2$:
$x_2 = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$.
Второе решение системы: $(-6, -2)$.
Ответ: $(2, 2), (-6, -2)$.

б)Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ y + 2x = 1 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$:
$y = 1 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7$
Раскроем скобки и упростим выражение. Напомним, что $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 + x - 2x^2 + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2x + (2x)^2) = 7$
$x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 2x^2 + 4x^2) + (x - 4x) + 1 - 7 = 0$
$3x^2 - 3x - 6 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$, так как их произведение равно $-2$, а сумма равна $1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 1 - 2x$:
1. При $x_1 = 2$:
$y_1 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$.
Первое решение системы: $(2, -3)$.
2. При $x_2 = -1$:
$y_2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
Второе решение системы: $(-1, 3)$.
Ответ: $(2, -3), (-1, 3)$.