Страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

384. Решите систему уравнений:

a) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x - y = 3; \end{cases} $
Это система, состоящая из одного нелинейного и одного линейного уравнения. Удобно использовать метод подстановки.
1. Выразим $x$ из второго уравнения:
$x = y + 3$
2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$(y + 3)^2 + y^2 = 9$
3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 6y + 9 + y^2 = 9$
$2y^2 + 6y = 0$
Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:
$2y(y + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$2y = 0 \implies y_1 = 0$
или
$y + 3 = 0 \implies y_2 = -3$
4. Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = y + 3$:
При $y_1 = 0$, $x_1 = 0 + 3 = 3$.
При $y_2 = -3$, $x_2 = -3 + 3 = 0$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(3; 0)$, $(0; -3)$.

б) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 4, \\ xy = 12; \end{cases} $
Применим метод подстановки.
1. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = y + 4$
2. Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)y = 12$
3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$y^2 + 4y = 12$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
Найдем корни уравнения. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-12$. Это числа $-6$ и $2$.
Либо через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{2}$
$y_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
4. Найдем соответствующие значения $x$ из $x = y + 4$:
При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 4 = 6$.
При $y_2 = -6$, $x_2 = -6 + 4 = -2$.
Получаем две пары решений.
Ответ: $(6; 2)$, $(-2; -6)$.

в) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = -1, \\ x + y^2 = 10. \end{cases} $
Используем метод подстановки.
1. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$ (это проще, чем выражать $x$):
$y = 2x + 1$
2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:
$x + (2x + 1)^2 = 10$
3. Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:
$x + (4x^2 + 4x + 1) = 10$
$4x^2 + 5x + 1 - 10 = 0$
$4x^2 + 5x - 9 = 0$
Решим уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 13}{2 \cdot 4} = \frac{-5 \pm 13}{8}$
$x_1 = \frac{-5 + 13}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-5 - 13}{8} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$
4. Найдем соответствующие значения $y$ из формулы $y = 2x + 1$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 2(1) + 1 = 3$.
При $x_2 = -\frac{9}{4}$, $y_2 = 2(-\frac{9}{4}) + 1 = -\frac{9}{2} + 1 = -\frac{9}{2} + \frac{2}{2} = -\frac{7}{2}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(1; 3)$, $(-\frac{9}{4}; -\frac{7}{2})$.

385. Решите систему уравнений графически и аналитически:

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4. \end{cases} $$

Графическое решение:

1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

2. Второе уравнение $x - y = 4$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$, чтобы построить график: $y = x - 4$. Это прямая с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением с осью $y$ в точке $(0, -4)$. Для построения прямой найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• Если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Точка $(4, 0)$.

3. Построим графики окружности и прямой в одной системе координат. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в точках $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Аналитическое решение:

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 4$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $(y + 4)^2 + y^2 = 16$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$: $y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16$
$2y^2 + 8y = 0$
$2y(y + 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$y_1 = 0$
$y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, подставив найденные значения $y$ в выражение $x = y + 4$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 4 = 4$.
Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 4 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения: $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Ответ: $(4, 0)$, $(0, -4)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x + 2y = 5. \end{cases} $$

Графическое решение:

1. Первое уравнение $y = x^2 + 1$ — это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

2. Второе уравнение $x + 2y = 5$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$:
$2y = 5 - x$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ или $y = -0.5x + 2.5$.
Для построения прямой найдем две точки:

• Если $x = 1$, то $y = -0.5(1) + 2.5 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• Если $x = 5$, то $y = -0.5(5) + 2.5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

3. Построим графики параболы и прямой в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы. Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются в двух точках. Одна точка пересечения легко определяется из графика: $(1, 2)$. Вторую точку определить по графику затруднительно, но она находится в левой полуплоскости. Для нахождения точных координат используем аналитический метод.

Аналитическое решение:

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $x + 2(x^2 + 1) = 5$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x + 2x^2 + 2 = 5$
$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение $y = x^2 + 1$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1^2 + 1 = 2$.
Если $x_2 = -\frac{3}{2}$, то $y_2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}$.

Система имеет два решения: $(1, 2)$ и $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.

386. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 2)(y + 3) = 160, \\ y - x = 1; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$y - x = 1 \implies y = x + 1$

Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$(x - 2)((x + 1) + 3) = 160$

Упростим выражение в скобках:

$(x - 2)(x + 4) = 160$

Раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив двучлены:

$x^2 + 4x - 2x - 8 = 160$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 + 2x - 8 = 160$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 8 - 160 = 0$

$x^2 + 2x - 168 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого корня x, используя ранее выведенное соотношение $y = x + 1$:

Если $x_1 = 12$, то $y_1 = 12 + 1 = 13$.

Если $x_2 = -14$, то $y_2 = -14 + 1 = -13$.

Таким образом, мы получили две пары решений $(x; y)$.

Ответ: $(12; 13)$, $(-14; -13)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} (x - 1)(y + 10) = 9, \\ x - y = 11. \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$x - y = 11 \implies y = x - 11$

Подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

$(x - 1)((x - 11) + 10) = 9$

Упростим выражение во вторых скобках:

$(x - 1)(x - 1) = 9$

Это можно записать как:

$(x - 1)^2 = 9$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приведет к двум возможным случаям:

$x - 1 = 3$ или $x - 1 = -3$

Решим каждое из этих линейных уравнений:

1) $x - 1 = 3 \implies x_1 = 3 + 1 = 4$

2) $x - 1 = -3 \implies x_2 = -3 + 1 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного значения x, используя формулу $y = x - 11$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 - 11 = -7$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2 - 11 = -13$.

Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: $(4; -7)$, $(-2; -13)$.

387. Решите систему уравнений:

а)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 6(y - x) - 50 = y, \\ y - xy = 24; \end{cases} $$ Упростим первое уравнение:
$6y - 6x - 50 = y$
$5y - 6x = 50$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y(1 - x) = 24$
$y = \frac{24}{1 - x}$, при условии, что $x \neq 1$.

Подставим выражение для $y$ в упрощенное первое уравнение:
$5\left(\frac{24}{1 - x}\right) - 6x = 50$
$\frac{120}{1 - x} - 6x = 50$

Умножим обе части уравнения на $(1 - x)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$120 - 6x(1 - x) = 50(1 - x)$
$120 - 6x + 6x^2 = 50 - 50x$
$6x^2 - 6x + 50x + 120 - 50 = 0$
$6x^2 + 44x + 70 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$3x^2 + 22x + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 35 = 484 - 420 = 64$
$\sqrt{D} = 8$

Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-22 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$
$x_2 = \frac{-22 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$.
1. Если $x_1 = -5$, то:
$y_1 = \frac{24}{1 - (-5)} = \frac{24}{6} = 4$
Первая пара решений: $(-5, 4)$.
2. Если $x_2 = -\frac{7}{3}$, то:
$y_2 = \frac{24}{1 - (-\frac{7}{3})} = \frac{24}{1 + \frac{7}{3}} = \frac{24}{\frac{10}{3}} = \frac{24 \cdot 3}{10} = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$
Вторая пара решений: $(-\frac{7}{3}, \frac{36}{5})$.

Ответ: $(-5, 4)$, $(-\frac{7}{3}, \frac{36}{5})$.

б)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} p + 5t = 2(p + t), \\ pt - t = 10. \end{cases} $$ Упростим первое уравнение:
$p + 5t = 2p + 2t$
$5t - 2t = 2p - p$
$3t = p$

Подставим выражение $p = 3t$ во второе уравнение системы:
$(3t)t - t = 10$
$3t^2 - t = 10$
$3t^2 - t - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$
$\sqrt{D} = 11$

Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $p$ для каждого корня $t$, используя соотношение $p = 3t$.
1. Если $t_1 = 2$, то:
$p_1 = 3 \cdot 2 = 6$
Первая пара решений: $(6, 2)$.
2. Если $t_2 = -\frac{5}{3}$, то:
$p_2 = 3 \cdot (-\frac{5}{3}) = -5$
Вторая пара решений: $(-5, -\frac{5}{3})$.

Ответ: $(6, 2)$, $(-5, -\frac{5}{3})$.

388. Решите систему уравнений:

а)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 4 = 0, \\ xy = 6. \end{cases} $

Сначала решим первое уравнение $x^2 - 4 = 0$ относительно переменной x. $x^2 = 4$ Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Далее подставим каждый из найденных корней во второе уравнение системы $xy = 6$, чтобы найти соответствующие значения y.

1. Если $x = 2$, то получаем:
$2y = 6$
$y = \frac{6}{2}$
$y = 3$
Таким образом, первое решение системы — это пара чисел $(2, 3)$.

2. Если $x = -2$, то получаем:
$-2y = 6$
$y = \frac{6}{-2}$
$y = -3$
Таким образом, второе решение системы — это пара чисел $(-2, -3)$.

Ответ: $(2, 3)$; $(-2, -3)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0, \\ y^2 - 6y + 5 = 0. \end{cases} $

Эта система состоит из двух уравнений, каждое из которых зависит только от одной переменной. Мы можем решить их независимо друг от друга.

Решим первое квадратное уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:
$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Решим второе квадратное уравнение $y^2 - 6y + 5 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим корни:
$y_1 = 1$, $y_2 = 5$.

Решениями системы являются все возможные комбинации найденных значений x и y. Каждое значение x может сочетаться с каждым значением y. Составим все пары $(x, y)$:
- для $x = 2$ получаем два решения: $(2, 1)$ и $(2, 5)$.
- для $x = 3$ получаем еще два решения: $(3, 1)$ и $(3, 5)$.

Ответ: $(2, 1)$; $(2, 5)$; $(3, 1)$; $(3, 5)$.

389. Решите систему уравнений:

а)Дана система уравнений:$ \begin{cases} y^2 + 2x - 4y = 0 \\ 2y - x = 2 \end{cases} $
Для решения системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$2y - x = 2 \implies x = 2y - 2$.
Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$y^2 + 2(2y - 2) - 4y = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 + 4y - 4 - 4y = 0$
$y^2 - 4 = 0$
Это неполное квадратное уравнение. Решим его:
$y^2 = 4$
$y_1 = 2$, $y_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя выражение $x = 2y - 2$:
1. При $y_1 = 2$:
$x_1 = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$.
Первое решение системы: $(2, 2)$.
2. При $y_2 = -2$:
$x_2 = 2(-2) - 2 = -4 - 2 = -6$.
Второе решение системы: $(-6, -2)$.
Ответ: $(2, 2), (-6, -2)$.

б)Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7 \\ y + 2x = 1 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $y$:
$y = 1 - 2x$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$x^2 + x(1 - 2x) + (1 - 2x)^2 = 7$
Раскроем скобки и упростим выражение. Напомним, что $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 + x - 2x^2 + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2x + (2x)^2) = 7$
$x^2 + x - 2x^2 + 1 - 4x + 4x^2 = 7$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - 2x^2 + 4x^2) + (x - 4x) + 1 - 7 = 0$
$3x^2 - 3x - 6 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3, чтобы упростить его:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корнями являются числа $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$, так как их произведение равно $-2$, а сумма равна $1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя выражение $y = 1 - 2x$:
1. При $x_1 = 2$:
$y_1 = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$.
Первое решение системы: $(2, -3)$.
2. При $x_2 = -1$:
$y_2 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
Второе решение системы: $(-1, 3)$.
Ответ: $(2, -3), (-1, 3)$.

390. Решите систему уравнений:

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11, \\ x - 2y = 1; \end{cases}$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Выразим переменную x из второго, более простого, уравнения:

$x = 1 + 2y$

Теперь подставим это выражение для x в первое уравнение системы:

$(1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(1 + 4y + 4y^2) + (y + 2y^2) - y^2 = 11$

Приведем подобные слагаемые:

$1 + 4y + 4y^2 + y + 2y^2 - y^2 = 11$

$5y^2 + 5y + 1 = 11$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5y^2 + 5y - 10 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители. Найдем два числа, произведение которых равно -2, а сумма равна 1. Это числа 2 и -1. Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(y + 2)(y - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для y:

$y_1 = 1$ или $y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного y, используя выражение $x = 1 + 2y$.

1. Если $y_1 = 1$, то:

$x_1 = 1 + 2(1) = 1 + 2 = 3$

Получаем первую пару решений $(3, 1)$.

2. Если $y_2 = -2$, то:

$x_2 = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3$

Получаем вторую пару решений $(-3, -2)$.

Проверим найденные решения. Для $(3, 1)$:

$3^2 + 3 \cdot 1 - 1^2 = 9 + 3 - 1 = 11$ (верно)

$3 - 2 \cdot 1 = 1$ (верно)

Для $(-3, -2)$:

$(-3)^2 + (-3)(-2) - (-2)^2 = 9 + 6 - 4 = 11$ (верно)

$(-3) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ (верно)

Ответ: $(3, 1), (-3, -2)$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases}$

Для решения этой системы также используем метод подстановки. Выразим y из второго уравнения:

$2y = -1 - 3x$

$y = \frac{-1 - 3x}{2}$

Подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + x\left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) - 3\left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) = 9$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 2:

$2x^2 + x(-1 - 3x) - 3(-1 - 3x) = 18$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - x - 3x^2 + 3 + 9x = 18$

$-x^2 + 8x + 3 = 18$

Перенесем все члены в левую часть и приведем уравнение к стандартному виду:

$-x^2 + 8x - 15 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 15. Корнями являются числа 3 и 5.

$(x - 3)(x - 5) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для x:

$x_1 = 3$ или $x_2 = 5$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого x, используя выражение $y = \frac{-1 - 3x}{2}$.

1. Если $x_1 = 3$, то:

$y_1 = \frac{-1 - 3(3)}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Получаем первую пару решений $(3, -5)$.

2. Если $x_2 = 5$, то:

$y_2 = \frac{-1 - 3(5)}{2} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Получаем вторую пару решений $(5, -8)$.

Проверим найденные решения. Для $(3, -5)$:

$3^2 + 3(-5) - 3(-5) = 9 - 15 + 15 = 9$ (верно)

$3(3) + 2(-5) = 9 - 10 = -1$ (верно)

Для $(5, -8)$:

$5^2 + 5(-8) - 3(-8) = 25 - 40 + 24 = 9$ (верно)

$3(5) + 2(-8) = 15 - 16 = -1$ (верно)

Ответ: $(3, -5), (5, -8)$.

391. Решите способом подстановки систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 12, \\xy = -6.\end{cases}$$Для решения системы методом подстановки выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Так как $xy = -6$, то ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю. Выразим $y$ через $x$:$y = -\frac{6}{x}$.

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12$$x^2 + \frac{36}{x^2} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (мы уже установили, что $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:$x^4 + 36 = 12x^2$$x^4 - 12x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Уравнение примет вид:$t^2 - 12t + 36 = 0$

Это полный квадрат разности:$(t - 6)^2 = 0$Отсюда $t - 6 = 0$, следовательно, $t = 6$.

Вернемся к переменной $x$:$x^2 = t = 6$Отсюда получаем два значения для $x$:$x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = -\frac{6}{x}$.

1. Если $x_1 = \sqrt{6}$, то $y_1 = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\frac{6\sqrt{6}}{6} = -\sqrt{6}$.
Первая пара решений: $(\sqrt{6}; -\sqrt{6})$.

2. Если $x_2 = -\sqrt{6}$, то $y_2 = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$.
Вторая пара решений: $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.

Ответ: $(\sqrt{6}; -\sqrt{6}), (-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.

б)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 34, \\xy = 20.\end{cases}$$Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$. Так как $xy = 20$, то $x \neq 0$.$y = \frac{20}{x}$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:$2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34$$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от дроби:$2x^4 - 400 = 34x^2$$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:$t^2 - 17t - 200 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 289 + 800 = 1089$$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-17) + 33}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{-(-17) - 33}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку $t = x^2$, значение $t$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $t_2 = -8$ является посторонним.Остается $t = 25$.

Выполним обратную замену:$x^2 = 25$Отсюда получаем два значения для $x$:$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = \frac{20}{x}$.

1. Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$.
Первая пара решений: $(5; 4)$.

2. Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$.
Вторая пара решений: $(-5; -4)$.

Ответ: $(5; 4), (-5; -4)$.

392. Решите систему уравнений, используя способ сложения:

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14, \\ x^2 + 2y^2 = 18. \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы. Это позволит исключить переменную $y$, так как коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами ($-2$ и $2$).
$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18$
$2x^2 = 32$
$x^2 = 16$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Теперь подставим найденное значение $x^2 = 16$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение:
$16 + 2y^2 = 18$
$2y^2 = 18 - 16$
$2y^2 = 2$
$y^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$. Таким образом, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(4; 1)$, $(4; -1)$, $(-4; 1)$, $(-4; -1)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ x^2 - y^2 = 11. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:
$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11$
$2x^2 = 72$
$x^2 = 36$
Следовательно, $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:
$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 61 - 11$
$2y^2 = 50$
$y^2 = 25$
Следовательно, $y_1 = 5$ и $y_2 = -5$.
Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(6; 5)$, $(6; -5)$, $(-6; 5)$, $(-6; -5)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy + x = 56, \\ xy + y = 54. \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого. Это позволит исключить член $xy$:
$(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54$
$x - y = 2$
Из этого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y + 2$
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение исходной системы:
$(y + 2)y + (y + 2) = 56$
$y^2 + 2y + y + 2 = 56$
$y^2 + 3y - 54 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-54$, а сумма равна $-3$. Эти числа $6$ и $-9$.
Таким образом, $y_1 = 6$, $y_2 = -9$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 2$:
Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Если $y_2 = -9$, то $x_2 = -9 + 2 = -7$.
В результате получаем две пары решений.
Ответ: $(8; 6)$, $(-7; -9)$.

393. Решите систему уравнений

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases} $

Эта система является симметрической, поскольку уравнения не изменятся, если поменять местами переменные $x$ и $y$. Для её решения удобно использовать метод, основанный на тождестве полного квадрата.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Из неё можно выразить $x^2+y^2$:

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$(x+y)^2 - 2xy = 10$.

Из второго уравнения системы нам известно, что $xy = 3$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x+y)^2 - 2 \cdot 3 = 10$

$(x+y)^2 - 6 = 10$

$(x+y)^2 = 16$

Из этого уравнения следует, что сумма $x+y$ может принимать два значения: $4$ или $-4$. Это позволяет разбить задачу на два отдельных случая.

Случай 1

Рассмотрим систему, где $x+y=4$ и $xy=3$:

$ \begin{cases} x+y = 4, \\ xy = 3. \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив известные значения суммы и произведения, получим:

$t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1=1$ и $t_2=3$. Это означает, что если $x=1$, то $y=3$, и если $x=3$, то $y=1$. Таким образом, мы получаем две пары решений: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2

Рассмотрим систему, где $x+y=-4$ и $xy=3$:

$ \begin{cases} x+y = -4, \\ xy = 3. \end{cases} $

Аналогично первому случаю, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим значения:

$t^2 - (-4)t + 3 = 0$

$t^2 + 4t + 3 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1=-1$ и $t_2=-3$. Это означает, что если $x=-1$, то $y=-3$, и если $x=-3$, то $y=-1$. Таким образом, мы получаем еще две пары решений: $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходной системы.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.