Страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

427. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см². Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см².

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S_{прям.}$) вычисляется как произведение его сторон. По условию, она равна 30 см?. Это дает нам первое уравнение:

$S_{прям.} = a \cdot b = 30$

На каждой из четырех сторон прямоугольника построен квадрат. Поскольку у прямоугольника две стороны длиной $a$ и две стороны длиной $b$, то у нас есть два квадрата со стороной $a$ и два квадрата со стороной $b$.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.

Площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$.

Сумма площадей всех четырех квадратов ($S_{квадр.}$) равна сумме площадей двух квадратов со стороной $a$ и двух квадратов со стороной $b$. По условию, эта сумма равна 122 см?. Это дает нам второе уравнение:

$S_{квадр.} = 2a^2 + 2b^2 = 122$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a \cdot b = 30 \\ 2a^2 + 2b^2 = 122 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на 2 для его упрощения:

$a^2 + b^2 = 61$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} ab = 30 \\ a^2 + b^2 = 61 \end{cases}$

Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Подставим в нее известные нам значения из системы:

$(a+b)^2 = 61 + 2 \cdot 30$

$(a+b)^2 = 61 + 60$

$(a+b)^2 = 121$

Так как $a$ и $b$ — это длины сторон, они являются положительными числами, поэтому их сумма также положительна. Извлечем квадратный корень:

$a+b = \sqrt{121} = 11$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases} a+b = 11 \\ ab = 30 \end{cases}$

Эта система может быть решена подбором (по теореме Виета для квадратного уравнения $x^2 - 11x + 30 = 0$). Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 30. Этими числами являются 5 и 6.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

Проверим результат:

• Площадь прямоугольника: $5 \cdot 6 = 30$ см?. (Соответствует условию)
• Сумма площадей квадратов: $2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 36 = 50 + 72 = 122$ см?. (Соответствует условию)

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

428. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

По условию задачи нам даны площадь треугольника $S = 24$ см? и гипотенуза $c = 10$ см.

Для решения задачи составим систему уравнений, используя формулу площади прямоугольного треугольника и теорему Пифагора.

1. Формула площади прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$.
Подставив известное значение площади, получаем: $24 = \frac{1}{2}ab$.
Отсюда следует, что произведение катетов равно: $ab = 24 \cdot 2 = 48$.

2. Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
Подставив известное значение гипотенузы, получаем: $a^2 + b^2 = 10^2$, что равно $a^2 + b^2 = 100$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} ab = 48 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Решим эту систему. Воспользуемся алгебраическим тождеством $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Мы можем переписать его как $(a+b)^2 = (a^2+b^2) + 2ab$.
Подставим известные нам значения $(a^2+b^2) = 100$ и $ab = 48$:

$(a+b)^2 = 100 + 2 \cdot 48 = 100 + 96 = 196$.

Поскольку $a$ и $b$ являются длинами сторон треугольника, их сумма должна быть положительным числом. Следовательно:

$a+b = \sqrt{196} = 14$.

Теперь мы получили новую, более простую систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 14 \\ ab = 48 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 14t + 48 = 0$.
Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4$.

$t_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$t_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Корни уравнения — 8 и 6. Это и есть длины катетов. То есть, если один катет равен 8 см, то второй равен 6 см, и наоборот.

Проверим полученный результат:
Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см?. (Верно)
Гипотенуза по теореме Пифагора: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, значит $c = \sqrt{100} = 10$ см. (Верно)
Все условия задачи выполнены.

Ответ: катеты треугольника равны 6 см и 8 см.

429. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Пусть катеты исходного прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи, гипотенуза $c = 13$ см. Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Запишем это в виде формулы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известное значение гипотенузы:

$a^2 + b^2 = 13^2$

$a^2 + b^2 = 169$

Это наше первое уравнение.

Далее, по условию, один из катетов увеличивают на 4 см. Допустим, мы увеличили катет $a$. Его новая длина стала $a+4$. Катет $b$ остался прежним. Гипотенуза при этом увеличилась на 2 см, то есть ее новая длина стала $13 + 2 = 15$ см.

Для нового прямоугольного треугольника с катетами $(a+4)$ и $b$ и гипотенузой 15 см также запишем теорему Пифагора:

$(a+4)^2 + b^2 = 15^2$

$(a+4)^2 + b^2 = 225$

Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 169 \\ (a+4)^2 + b^2 = 225 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$a^2 + 8a + 16 + b^2 = 225$

Мы можем перегруппировать слагаемые, чтобы использовать первое уравнение:

$(a^2 + b^2) + 8a + 16 = 225$

Из первого уравнения мы знаем, что $a^2 + b^2 = 169$. Подставим это значение:

$169 + 8a + 16 = 225$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$8a + 185 = 225$

$8a = 225 - 185$

$8a = 40$

$a = \frac{40}{8}$

$a = 5$ см

Мы нашли длину одного катета. Для нахождения второго катета $b$ подставим значение $a=5$ в первое уравнение $a^2 + b^2 = 169$:

$5^2 + b^2 = 169$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12$ см (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, длины катетов исходного треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.

430. Один комбайнёр может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая через 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнёру, чтобы одному убрать урожай?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ часов — это время, за которое первый (более быстрый) комбайнёр может убрать урожай, работая в одиночку.

Согласно условию, второй комбайнёр убирает тот же урожай на 24 часа дольше. Следовательно, время работы второго комбайнёра составляет $(x + 24)$ часов.

Производительность (скорость работы) первого комбайнёра равна $\frac{1}{x}$ часть поля в час.

Производительность второго комбайнёра равна $\frac{1}{x+24}$ часть поля в час.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность составляет:
$P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}$

Известно, что вместе они заканчивают уборку за 35 часов. Работа, выполненная за это время, равна 1 (все поле). Таким образом, можно составить уравнение, связывающее общую производительность и время:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}) \times 35 = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.
Разделим обе части на 35:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+24)$:
$\frac{x+24+x}{x(x+24)} = \frac{1}{35}$
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$35(2x+24) = 1(x^2+24x)$
$70x + 840 = x^2 + 24x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 24x - 70x - 840 = 0$
$x^2 - 46x - 840 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-46)^2 - 4 \times 1 \times (-840) = 2116 + 3360 = 5476$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-46) + 74}{2 \times 1} = \frac{46 + 74}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-(-46) - 74}{2 \times 1} = \frac{46 - 74}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, время работы первого комбайнёра равно 60 часов.

Теперь найдем время работы второго комбайнёра:
$x + 24 = 60 + 24 = 84$ часа.

Таким образом, первому комбайнёру потребуется 60 часов, а второму — 84 часа, чтобы убрать урожай в одиночку.

Ответ: первому комбайнёру потребуется 60 часов, второму — 84 часа.

431. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если за 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков?

Пусть первая (более быстрая) бригада может заасфальтировать один участок дороги за $x$ часов. Тогда, согласно условию, вторая бригада может заасфальтировать такой же участок за $(x + 4)$ часа.

Производительность труда (скорость работы) первой бригады составляет $\frac{1}{x}$ участка в час, а производительность второй бригады — $\frac{1}{x+4}$ участка в час.

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность двух бригад равна:$P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$ участка в час.

Из условия известно, что за 24 часа совместной работы бригады заасфальтировали 5 таких участков. Это позволяет найти их совместную производительность другим способом:$P_{совм} = \frac{5 \text{ участков}}{24 \text{ часа}} = \frac{5}{24}$ участка в час.

Теперь мы можем приравнять два выражения для совместной производительности и составить уравнение:$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{5}{24}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{5}{24}$
$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{5}{24}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$24(2x+4) = 5(x^2+4x)$
$48x + 96 = 5x^2 + 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:$5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0$
$5x^2 - 28x - 96 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{-(-28) + 52}{2 \cdot 5} = \frac{28 + 52}{10} = \frac{80}{10} = 8$
$x_2 = \frac{-(-28) - 52}{2 \cdot 5} = \frac{28 - 52}{10} = \frac{-24}{10} = -2.4$

Поскольку $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -2.4$ не является решением задачи.
Таким образом, время, за которое первая бригада может заасфальтировать участок, составляет $x = 8$ часов.

Время работы второй бригады составляет $x + 4 = 8 + 4 = 12$ часов.

Ответ: первая бригада может заасфальтировать участок за 8 часов, а вторая — за 12 часов.

432. Положив в банк некоторую сумму денег, вкладчик получил через год на 40 000 р. больше. Оставив эти деньги в банке ещё на год под такой же процент, он снял со своего счёта всю сумму, которая составила 583 200 р. Какая сумма денег была положена в банк и сколько процентов годовых начислял банк?

Сколько процентов годовых начислял банк?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ — это первоначальная сумма, которую вкладчик положил в банк, а $r$ — годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби (например, для 8% годовых $r = 0.08$).

Согласно условию, через год вкладчик получил на 40 000 р. больше. Эта сумма представляет собой проценты, начисленные на первоначальный вклад за первый год. Математически это можно записать как:
$S \cdot r = 40000$

Сумма на счете через год стала равна $S_1 = S + 40000$.

Эту новую сумму вкладчик оставил в банке еще на год под тот же процент. Через второй год он снял со счета всю сумму, которая составила 583 200 р. Это означает, что сумма $S_1$ была увеличена на $r$ процентов (умножена на коэффициент $1+r$):
$S_1 \cdot (1 + r) = 583200$

Подставим выражение для $S_1$ в это уравнение:
$(S + 40000)(1 + r) = 583200$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$S \cdot (1+r) + 40000 \cdot (1+r) = 583200$
$S + S \cdot r + 40000 + 40000 \cdot r = 583200$

Из первого условия мы знаем, что $S \cdot r = 40000$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$S + 40000 + 40000 + 40000 \cdot r = 583200$

Упростим выражение:
$S + 80000 + 40000r = 583200$
$S + 40000r = 583200 - 80000$
$S + 40000r = 503200$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $S \cdot r = 40000$
2) $S + 40000r = 503200$

Из первого уравнения выразим $S$: $S = \frac{40000}{r}$. Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{40000}{r} + 40000r = 503200$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $r$ (мы знаем, что $r \neq 0$, так как проценты начислялись):
$40000 + 40000r^2 = 503200r$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$40000r^2 - 503200r + 40000 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все коэффициенты уравнения на 800:
$50r^2 - 629r + 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-629)^2 - 4 \cdot 50 \cdot 50 = 395641 - 10000 = 385641$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{385641} = 621$.

Теперь найдем корни уравнения для $r$:
$r = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{629 \pm 621}{2 \cdot 50} = \frac{629 \pm 621}{100}$

Получаем два возможных решения:
$r_1 = \frac{629 - 621}{100} = \frac{8}{100} = 0.08$
$r_2 = \frac{629 + 621}{100} = \frac{1250}{100} = 12.5$

Значение $r_2 = 12.5$ соответствует процентной ставке в 1250% годовых, что является нереалистичным условием для банковского вклада. Поэтому мы выбираем единственное правдоподобное решение $r_1 = 0.08$.

Переведем это значение в проценты: $0.08 \cdot 100\% = 8\%$.

Ответ: 8%.

Какая сумма денег была положена в банк?

Зная годовую процентную ставку $r=0.08$, мы можем легко найти первоначальную сумму вклада $S$, используя соотношение, полученное из условия задачи: $S \cdot r = 40000$.

Подставим известное значение $r$:
$S \cdot 0.08 = 40000$

Отсюда находим $S$:
$S = \frac{40000}{0.08} = \frac{4000000}{8} = 500000$ рублей.

Таким образом, первоначальная сумма, положенная в банк, составляла 500 000 рублей.

Проведем проверку:
1. Первоначальный вклад: 500 000 р.
2. Проценты за первый год: $500000 \cdot 0.08 = 40000$ р. (верно).
3. Сумма на счете через год: $500000 + 40000 = 540000$ р.
4. Сумма на счете через два года: $540000 \cdot (1 + 0.08) = 540000 \cdot 1.08 = 583200$ р. (верно).

Ответ: 500 000 рублей.

433. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть весь объем земляных работ равен 1.

Обозначим за $x$ время в часах, за которое первый, более быстрый, экскаватор может выполнить всю работу самостоятельно.Согласно условию, второй экскаватор выполняет тот же объем работ на 4 часа дольше, следовательно, ему потребуется $x+4$ часов.

Производительность (скорость выполнения работы) первого экскаватора равна $P_1 = \frac{1}{x}$ (объема работ в час).Производительность второго экскаватора равна $P_2 = \frac{1}{x+4}$ (объема работ в час).

Когда экскаваторы работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

По условию, работая вместе, они выполняют весь объем работ за 3 часа 45 минут. Переведем это время в часы:$3$ ч $45$ мин = $3 + \frac{45}{60}$ ч = $3 + \frac{3}{4}$ ч = $3.75$ ч или $\frac{15}{4}$ ч.

Работа, выполненная совместно, равна произведению совместной производительности на время работы:$A = P_{общ} \cdot t_{общ}$.Подставим наши значения:

$1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) \cdot \frac{15}{4}$

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе части на $\frac{15}{4}$ (или умножим на $\frac{4}{15}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{4}{15}$

$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{4}{15}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$15 \cdot (2x+4) = 4 \cdot (x^2+4x)$

$30x + 60 = 4x^2 + 16x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$

$4x^2 - 14x - 60 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$2x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 17}{4}$

$x_1 = \frac{7+17}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$x_2 = \frac{7-17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -2.5$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, время, за которое первый (быстрый) экскаватор выполняет работу, равно $x = 6$ часов.

Время, за которое второй экскаватор выполняет работу, равно $x+4 = 6+4 = 10$ часов.

Ответ: одному экскаватору для выполнения всего объема работ требуется 6 часов, а другому — 10 часов.

434. Груз массой 30 кг производит давление на опору. Если массу груза уменьшить на 2 кг, а площадь опоры уменьшить на 1 дм², то масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Найдите площадь опоры.

Пусть $S$ — первоначальная площадь опоры в квадратных дециметрах (дм?).

Первоначальная масса груза составляет $m_1 = 30$ кг. Масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, в этом случае равна: $ \frac{m_1}{S} = \frac{30}{S} $ кг/дм?.

Согласно условию, массу груза уменьшили на 2 кг, а площадь опоры — на 1 дм?. Новые значения: Новая масса: $m_2 = 30 - 2 = 28$ кг. Новая площадь: $S_2 = S - 1$ дм?.

Теперь масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр, стала: $ \frac{m_2}{S_2} = \frac{28}{S - 1} $ кг/дм?.

Из условия известно, что эта новая величина на 1 кг больше первоначальной. На основе этого можно составить уравнение: $ \frac{28}{S - 1} = \frac{30}{S} + 1 $

Для решения уравнения сначала приведем правую часть к общему знаменателю: $ \frac{28}{S - 1} = \frac{30 + S}{S} $

Теперь, используя свойство пропорции, выполним перекрестное умножение. Область допустимых значений для $S$ — это $S > 1$, так как площадь не может быть отрицательной или нулевой, и знаменатель $S-1$ должен быть больше нуля. $ 28 \cdot S = (S - 1) \cdot (30 + S) $

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: $ 28S = 30S + S^2 - 30 - S $ $ 28S = S^2 + 29S - 30 $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ S^2 + 29S - 28S - 30 = 0 $ $ S^2 + S - 30 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-30$. Корнями являются числа $5$ и $-6$. $ S_1 = 5 $ $ S_2 = -6 $

Поскольку $S$ представляет собой площадь, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $S_2 = -6$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным верным решением является $S = 5$.

Таким образом, первоначальная площадь опоры равна 5 дм?.

Ответ: 5 дм?.

435. Рационализаторы цеха внедрили в производство усовершенствованный тип детали. Определите массу детали нового и старого типов, если известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа, причём из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — масса детали старого типа в кг, а $y$ — масса детали нового типа в кг.

Из условия задачи известно, что деталь нового типа на 0,2 кг легче детали старого типа. Это можно записать в виде уравнения:
$y = x - 0.2$

Также известно, что из 22 кг металла стали делать деталей нового типа на две больше, чем делали деталей старого типа из 24 кг металла.
Количество деталей, изготовленных из определенной массы металла, равно общей массе металла, деленной на массу одной детали.
Количество деталей нового типа, изготовленных из 22 кг металла, равно $22/y$.
Количество деталей старого типа, изготовленных из 24 кг металла, равно $24/x$.
Составим второе уравнение на основе этой информации:
$\frac{22}{y} = \frac{24}{x} + 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $y = x - 0.2$
2) $\frac{22}{y} = \frac{24}{x} + 2$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$\frac{22}{x - 0.2} = \frac{24}{x} + 2$

Для решения этого уравнения приведем все члены к общему знаменателю $x(x - 0.2)$. Умножим обе части уравнения на $x(x - 0.2)$, предполагая, что $x \neq 0$ и $x \neq 0.2$. Поскольку $x$ — это масса, она должна быть положительной, так что эти условия выполняются.
$22x = 24(x - 0.2) + 2x(x - 0.2)$
Раскроем скобки:
$22x = 24x - 4.8 + 2x^2 - 0.4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 + 24x - 0.4x - 22x - 4.8 = 0$
$2x^2 + 1.6x - 4.8 = 0$

Для удобства вычислений разделим все уравнение на 2:
$x^2 + 0.8x - 2.4 = 0$
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (0.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2.4) = 0.64 + 9.6 = 10.24$
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0.8 \pm \sqrt{10.24}}{2 \cdot 1} = \frac{-0.8 \pm 3.2}{2}$
$x_1 = \frac{-0.8 + 3.2}{2} = \frac{2.4}{2} = 1.2$
$x_2 = \frac{-0.8 - 3.2}{2} = \frac{-4.0}{2} = -2$

Поскольку масса детали не может быть отрицательной, корень $x_2 = -2$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, масса детали старого типа составляет $x = 1.2$ кг.

Теперь найдем массу детали нового типа, используя первое уравнение:
$y = x - 0.2 = 1.2 - 0.2 = 1.0$ кг.

Проверим найденные значения:
Количество деталей нового типа из 22 кг металла: $\frac{22}{1.0} = 22$ штуки.
Количество деталей старого типа из 24 кг металла: $\frac{24}{1.2} = 20$ штук.
Разница в количестве деталей: $22 - 20 = 2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: масса детали старого типа — 1,2 кг, масса детали нового типа — 1,0 кг.