Номер 427, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - номер 427, страница 128.

Условие.

427. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см². Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см².

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника ($S_{прям.}$) вычисляется как произведение его сторон. По условию, она равна 30 см?. Это дает нам первое уравнение:

$S_{прям.} = a \cdot b = 30$

На каждой из четырех сторон прямоугольника построен квадрат. Поскольку у прямоугольника две стороны длиной $a$ и две стороны длиной $b$, то у нас есть два квадрата со стороной $a$ и два квадрата со стороной $b$.

Площадь квадрата со стороной $a$ равна $a^2$.

Площадь квадрата со стороной $b$ равна $b^2$.

Сумма площадей всех четырех квадратов ($S_{квадр.}$) равна сумме площадей двух квадратов со стороной $a$ и двух квадратов со стороной $b$. По условию, эта сумма равна 122 см?. Это дает нам второе уравнение:

$S_{квадр.} = 2a^2 + 2b^2 = 122$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a \cdot b = 30 \\ 2a^2 + 2b^2 = 122 \end{cases}$

Разделим второе уравнение на 2 для его упрощения:

$a^2 + b^2 = 61$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} ab = 30 \\ a^2 + b^2 = 61 \end{cases}$

Используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.

Подставим в нее известные нам значения из системы:

$(a+b)^2 = 61 + 2 \cdot 30$

$(a+b)^2 = 61 + 60$

$(a+b)^2 = 121$

Так как $a$ и $b$ — это длины сторон, они являются положительными числами, поэтому их сумма также положительна. Извлечем квадратный корень:

$a+b = \sqrt{121} = 11$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases} a+b = 11 \\ ab = 30 \end{cases}$

Эта система может быть решена подбором (по теореме Виета для квадратного уравнения $x^2 - 11x + 30 = 0$). Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 30. Этими числами являются 5 и 6.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.

Проверим результат:

• Площадь прямоугольника: $5 \cdot 6 = 30$ см?. (Соответствует условию)
• Сумма площадей квадратов: $2 \cdot 5^2 + 2 \cdot 6^2 = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 36 = 50 + 72 = 122$ см?. (Соответствует условию)

Ответ: стороны прямоугольника равны 5 см и 6 см.