Номер 434, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - номер 434, страница 128.

Условие.

434. Груз массой 30 кг производит давление на опору. Если массу груза уменьшить на 2 кг, а площадь опоры уменьшить на 1 дм², то масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, увеличится на 1 кг. Найдите площадь опоры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $S$ — первоначальная площадь опоры в квадратных дециметрах (дм?).

Первоначальная масса груза составляет $m_1 = 30$ кг. Масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры, в этом случае равна: $ \frac{m_1}{S} = \frac{30}{S} $ кг/дм?.

Согласно условию, массу груза уменьшили на 2 кг, а площадь опоры — на 1 дм?. Новые значения: Новая масса: $m_2 = 30 - 2 = 28$ кг. Новая площадь: $S_2 = S - 1$ дм?.

Теперь масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр, стала: $ \frac{m_2}{S_2} = \frac{28}{S - 1} $ кг/дм?.

Из условия известно, что эта новая величина на 1 кг больше первоначальной. На основе этого можно составить уравнение: $ \frac{28}{S - 1} = \frac{30}{S} + 1 $

Для решения уравнения сначала приведем правую часть к общему знаменателю: $ \frac{28}{S - 1} = \frac{30 + S}{S} $

Теперь, используя свойство пропорции, выполним перекрестное умножение. Область допустимых значений для $S$ — это $S > 1$, так как площадь не может быть отрицательной или нулевой, и знаменатель $S-1$ должен быть больше нуля. $ 28 \cdot S = (S - 1) \cdot (30 + S) $

Раскроем скобки и упростим полученное выражение: $ 28S = 30S + S^2 - 30 - S $ $ 28S = S^2 + 29S - 30 $

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $ S^2 + 29S - 28S - 30 = 0 $ $ S^2 + S - 30 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-30$. Корнями являются числа $5$ и $-6$. $ S_1 = 5 $ $ S_2 = -6 $

Поскольку $S$ представляет собой площадь, она не может быть отрицательной. Следовательно, корень $S_2 = -6$ не удовлетворяет условию задачи. Единственным верным решением является $S = 5$.

Таким образом, первоначальная площадь опоры равна 5 дм?.

Ответ: 5 дм?.