Номер 437, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

437. Из пункта M в пункт N, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт N на 54 мин позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.

Пусть скорость одного туриста (более медленного) равна $v$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость другого туриста (более быстрого) равна $v + 1$ км/ч.

Расстояние $S$ между пунктами M и N составляет 18 км.

Время, которое затратил на путь более медленный турист, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно $t_1 = \frac{18}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь более быстрый турист, равно $t_2 = \frac{18}{v+1}$ часов.

Из условия известно, что один из них прибыл на 54 минуты позже. Это означает, что время в пути медленного туриста было больше, чем время быстрого, на 54 минуты. Переведем разницу во времени в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, которое отражает разницу во времени:$t_1 - t_2 = 0.9$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:$\frac{18}{v} - \frac{18}{v+1} = \frac{9}{10}$

Для упрощения решения разделим обе части уравнения на 9:$\frac{2}{v} - \frac{2}{v+1} = \frac{1}{10}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+1)$:$\frac{2(v+1) - 2v}{v(v+1)} = \frac{1}{10}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:$\frac{2v + 2 - 2v}{v^2 + v} = \frac{1}{10}$$\frac{2}{v^2 + v} = \frac{1}{10}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):$1 \cdot (v^2 + v) = 2 \cdot 10$$v^2 + v = 20$

Перенесем 20 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$v^2 + v - 20 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Теперь найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v = -5$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.Следовательно, скорость более медленного туриста $v = 4$ км/ч.

Скорость более быстрого туриста равна $v + 1$:$4 + 1 = 5$ км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 4 км/ч, скорость другого туриста 5 км/ч.