Страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

436. Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта A пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?

Пусть $v_А$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из пункта А, и $v_Б$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из пункта В. Общее расстояние между пунктами $S = 40$ км.

1. Анализ первого условия.

Пешеходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_А + v_Б$. За время $t_1 = 4$ часа они вместе прошли расстояние $S_1 = v_{сбл} \cdot t_1 = (v_А + v_Б) \cdot 4$. По условию, через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Это означает, что расстояние, которое они уже прошли вместе, составляет $S_1 = 40 - 4 = 36$ км. Составим первое уравнение:
$4 \cdot (v_А + v_Б) = 36$
Разделив обе части на 4, получим:
$v_А + v_Б = 9$

2. Анализ второго условия.

Если бы пешеход из пункта А вышел на 1 час раньше, встреча произошла бы на середине пути. Середина пути находится на расстоянии $\frac{S}{2} = \frac{40}{2} = 20$ км от каждого из пунктов. Пусть $t$ — это время, которое был в пути пешеход из пункта В до момента встречи. Так как пешеход из пункта А вышел на 1 час раньше, его время в пути составило $t + 1$ час. К моменту встречи каждый из них прошел 20 км. Составим систему уравнений, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$v_А \cdot (t + 1) = 20$
$v_Б \cdot t = 20$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из трех уравнений:
1) $v_А + v_Б = 9$
2) $v_А(t + 1) = 20$
3) $v_Б \cdot t = 20$

Из уравнения (1) выразим $v_А$: $v_А = 9 - v_Б$.
Из уравнения (3) выразим $t$: $t = \frac{20}{v_Б}$.
Теперь подставим эти выражения в уравнение (2):
$(9 - v_Б) \cdot \left(\frac{20}{v_Б} + 1\right) = 20$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$(9 - v_Б) \cdot \frac{20 + v_Б}{v_Б} = 20$
Умножим обе части на $v_Б$ (скорость не может быть равна нулю):
$(9 - v_Б)(20 + v_Б) = 20v_Б$
Раскроем скобки:
$180 + 9v_Б - 20v_Б - v_Б^2 = 20v_Б$
$180 - 11v_Б - v_Б^2 = 20v_Б$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$v_Б^2 + 31v_Б - 180 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681$
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$
Найдем корни уравнения:
$v_{Б,1} = \frac{-31 + 41}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$v_{Б,2} = \frac{-31 - 41}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень $v_{Б,2} = -36$ не является решением задачи. Следовательно, скорость пешехода, вышедшего из пункта В, равна $v_Б = 5$ км/ч.

Найдем скорость пешехода, вышедшего из пункта А, используя уравнение (1):
$v_А = 9 - v_Б = 9 - 5 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода, вышедшего из пункта А, равна 4 км/ч, а скорость пешехода, вышедшего из пункта В, — 5 км/ч.

437. Из пункта M в пункт N, расстояние между которыми равно 18 км, вышли одновременно два туриста. Один из них прибыл в пункт N на 54 мин позже, чем другой. Найдите скорость каждого туриста, если известно, что скорость одного из них на 1 км/ч меньше, чем скорость другого.

Пусть скорость одного туриста (более медленного) равна $v$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость другого туриста (более быстрого) равна $v + 1$ км/ч.

Расстояние $S$ между пунктами M и N составляет 18 км.

Время, которое затратил на путь более медленный турист, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$ и равно $t_1 = \frac{18}{v}$ часов.

Время, которое затратил на путь более быстрый турист, равно $t_2 = \frac{18}{v+1}$ часов.

Из условия известно, что один из них прибыл на 54 минуты позже. Это означает, что время в пути медленного туриста было больше, чем время быстрого, на 54 минуты. Переведем разницу во времени в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, которое отражает разницу во времени:$t_1 - t_2 = 0.9$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:$\frac{18}{v} - \frac{18}{v+1} = \frac{9}{10}$

Для упрощения решения разделим обе части уравнения на 9:$\frac{2}{v} - \frac{2}{v+1} = \frac{1}{10}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+1)$:$\frac{2(v+1) - 2v}{v(v+1)} = \frac{1}{10}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:$\frac{2v + 2 - 2v}{v^2 + v} = \frac{1}{10}$$\frac{2}{v^2 + v} = \frac{1}{10}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):$1 \cdot (v^2 + v) = 2 \cdot 10$$v^2 + v = 20$

Перенесем 20 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$v^2 + v - 20 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$

Теперь найдем корни уравнения:$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v = -5$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.Следовательно, скорость более медленного туриста $v = 4$ км/ч.

Скорость более быстрого туриста равна $v + 1$:$4 + 1 = 5$ км/ч.

Ответ: скорость одного туриста 4 км/ч, скорость другого туриста 5 км/ч.

438. Из населённых пунктов M и N, удалённых друг от друга на 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста и встретились через 30 мин. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если известно, что один из них прибыл в пункт M на 25 мин раньше, чем другой в пункт N.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости мотоциклистов в км/ч.Расстояние между населенными пунктами M и N составляет $S = 50$ км.Время, через которое мотоциклисты встретились, $t_{встр} = 30 \text{ мин}$.Разница во времени прибытия в конечные пункты $\Delta t = 25 \text{ мин}$.

Для удобства расчетов переведем время из минут в часы:$t_{встр} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$$\Delta t = 25 \text{ мин} = \frac{25}{60} \text{ ч} = \frac{5}{12} \text{ ч}$

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей. До момента встречи они вместе преодолевают все расстояние S. Составим первое уравнение на основе этого факта:$S = (v_1 + v_2) \cdot t_{встр}$$50 = (v_1 + v_2) \cdot 0.5$Отсюда находим сумму скоростей:$v_1 + v_2 = \frac{50}{0.5} = 100$

Теперь рассмотрим второе условие. Пусть мотоциклист со скоростью $v_1$ едет из пункта N в M, а мотоциклист со скоростью $v_2$ — из пункта M в N. По условию, первый прибыл в пункт M на 25 минут раньше, чем второй прибыл в пункт N. Это значит, что время движения первого мотоциклиста на 25 минут меньше, чем время второго, следовательно, скорость первого больше, то есть $v_1 > v_2$.

Время движения первого мотоциклиста: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{50}{v_1}$Время движения второго мотоциклиста: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{50}{v_2}$Разница во времени составляет $\Delta t$:$t_2 - t_1 = \frac{5}{12}$$\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{12}$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:$\begin{cases}v_1 + v_2 = 100 \\\frac{50}{v_2} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{12}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 100 - v_1$.Подставим это выражение во второе уравнение:$\frac{50}{100 - v_1} - \frac{50}{v_1} = \frac{5}{12}$Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:$\frac{10}{100 - v_1} - \frac{10}{v_1} = \frac{1}{12}$Приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{10v_1 - 10(100 - v_1)}{v_1(100 - v_1)} = \frac{1}{12}$$\frac{10v_1 - 1000 + 10v_1}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$$\frac{20v_1 - 1000}{100v_1 - v_1^2} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»):$12(20v_1 - 1000) = 1(100v_1 - v_1^2)$$240v_1 - 12000 = 100v_1 - v_1^2$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$v_1^2 + 240v_1 - 100v_1 - 12000 = 0$$v_1^2 + 140v_1 - 12000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 140^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12000) = 19600 + 48000 = 67600$$\sqrt{D} = \sqrt{67600} = 260$Найдем корни уравнения:$v_{1,1} = \frac{-140 + 260}{2} = \frac{120}{2} = 60$$v_{1,2} = \frac{-140 - 260}{2} = \frac{-400}{2} = -200$Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только корень $v_1 = 60$.

Итак, скорость первого (более быстрого) мотоциклиста равна 60 км/ч. Теперь найдем скорость второго мотоциклиста:$v_2 = 100 - v_1 = 100 - 60 = 40$Скорость второго мотоциклиста — 40 км/ч.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 60 км/ч, а другого — 40 км/ч.

439. После того как смешали 12 г одной жидкости и 14 г другой жидкости большей плотности, получили смесь, плотность которой равна 1,3 г/см³. Какова плотность каждой жидкости, если известно, что плотность одной из них на 0,2 г/см³ больше плотности другой?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_1 = 12 \text{ г}$ — масса первой жидкости.
• $m_2 = 14 \text{ г}$ — масса второй жидкости.
• $\rho_1$ — плотность первой жидкости.
• $\rho_2$ — плотность второй жидкости.
• $\rho_{смеси} = 1,3 \text{ г/см}^3$ — плотность полученной смеси.

Из условия задачи известно, что вторая жидкость (массой $14 \text{ г}$) имеет большую плотность, и разница в плотностях составляет $0,2 \text{ г/см}^3$. Следовательно, мы можем записать:

$\rho_2 = \rho_1 + 0,2$

Плотность смеси вычисляется как отношение ее общей массы к общему объему. При смешивании (если не происходит химической реакции или значительного изменения объема) общая масса равна сумме масс компонентов, а общий объем — сумме их объемов.

Общая масса смеси: $m_{смеси} = m_1 + m_2 = 12 \text{ г} + 14 \text{ г} = 26 \text{ г}$.

Объемы каждой жидкости можно выразить через их массу и плотность по формуле $V = m/\rho$:

$V_1 = \frac{m_1}{\rho_1}$ и $V_2 = \frac{m_2}{\rho_2}$

Общий объем смеси: $V_{смеси} = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$.

Формула для плотности смеси:

$\rho_{смеси} = \frac{m_{смеси}}{V_{смеси}} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}}$

Подставим известные значения и соотношение плотностей в эту формулу. Для удобства обозначим $\rho_1 = \rho$, тогда $\rho_2 = \rho + 0,2$.

$1,3 = \frac{12 + 14}{\frac{12}{\rho} + \frac{14}{\rho + 0,2}}$

$1,3 = \frac{26}{\frac{12(\rho + 0,2) + 14\rho}{\rho(\rho + 0,2)}}$

Перевернем знаменатель и упростим выражение:

$1,3 = \frac{26 \cdot \rho(\rho + 0,2)}{12\rho + 2,4 + 14\rho}$

$1,3 = \frac{26(\rho^2 + 0,2\rho)}{26\rho + 2,4}$

Разделим обе части уравнения на 26:

$\frac{1,3}{26} = \frac{\rho^2 + 0,2\rho}{26\rho + 2,4}$

$0,05 = \frac{\rho^2 + 0,2\rho}{26\rho + 2,4}$

Применим правило пропорции:

$0,05(26\rho + 2,4) = \rho^2 + 0,2\rho$

$1,3\rho + 0,12 = \rho^2 + 0,2\rho$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$\rho^2 + 0,2\rho - 1,3\rho - 0,12 = 0$

$\rho^2 - 1,1\rho - 0,12 = 0$

Для удобства вычислений умножим уравнение на 100, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$100\rho^2 - 110\rho - 12 = 0$

Сократим все члены уравнения на 2:

$50\rho^2 - 55\rho - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-6) = 3025 + 1200 = 4225$

$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$

Найдем корни уравнения по формуле $\rho = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\rho = \frac{55 \pm 65}{2 \cdot 50} = \frac{55 \pm 65}{100}$

Первый корень: $\rho' = \frac{55 + 65}{100} = \frac{120}{100} = 1,2$.

Второй корень: $\rho'' = \frac{55 - 65}{100} = \frac{-10}{100} = -0,1$.

Поскольку плотность не может быть отрицательной величиной, физический смысл имеет только первый корень $\rho = 1,2 \text{ г/см}^3$.

Это плотность первой, менее плотной жидкости: $\rho_1 = 1,2 \text{ г/см}^3$.

Теперь найдем плотность второй, более плотной жидкости:

$\rho_2 = \rho_1 + 0,2 = 1,2 + 0,2 = 1,4 \text{ г/см}^3$.

Ответ: плотность одной жидкости равна $1,2 \text{ г/см}^3$, а плотность другой жидкости — $1,4 \text{ г/см}^3$.

440. Из куска олова массой 356 г и куска меди массой 438 г сделали сплав. Известно, что плотность олова на 1,6 г/см³ больше плотности меди. Найдите объём каждого куска металла, если объём куска олова на 20 см³ меньше объёма куска меди.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_о$ – масса куска олова, $V_о$ – объём куска олова, $\rho_о$ – плотность олова.
• $m_м$ – масса куска меди, $V_м$ – объём куска меди, $\rho_м$ – плотность меди.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие данные:

$m_о = 356 \text{ г}$

$m_м = 438 \text{ г}$

Плотность олова на $1,6 \text{ г/см}^3$ больше плотности меди, что можно записать в виде уравнения:

$\rho_о = \rho_м + 1,6$

Объём куска олова на $20 \text{ см}^3$ меньше объёма куска меди, что также можно записать в виде уравнения:

$V_о = V_м - 20$

Основная формула, связывающая массу, объём и плотность, выглядит так: $\rho = m/V$.

Выразим плотности олова и меди через их массу и объём:

$\rho_о = \frac{m_о}{V_о} = \frac{356}{V_о}$

$\rho_м = \frac{m_м}{V_м} = \frac{438}{V_м}$

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее плотности:

$\frac{356}{V_о} = \frac{438}{V_м} + 1,6$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($V_о$ и $V_м$):

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{356}{V_о} = \frac{438}{V_м} + 1,6 \\ V_о = V_м - 20 \end{array} \right. $

Подставим выражение для $V_о$ из второго уравнения в первое:

$\frac{356}{V_м - 20} = \frac{438}{V_м} + 1,6$

Решим это уравнение относительно $V_м$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $V_м(V_м - 20)$, при условии, что $V_м \neq 0$ и $V_м \neq 20$:

$356 \cdot V_м = 438 \cdot (V_м - 20) + 1,6 \cdot V_м \cdot (V_м - 20)$

Раскроем скобки:

$356 V_м = 438 V_м - 8760 + 1,6 V_м^2 - 32 V_м$

Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$1,6 V_м^2 + (438 - 32 - 356)V_м - 8760 = 0$

$1,6 V_м^2 + 50 V_м - 8760 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем разделим на 4:

$16 V_м^2 + 500 V_м - 87600 = 0 \quad | :4$

$4 V_м^2 + 125 V_м - 21900 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 125^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-21900) = 15625 + 16 \cdot 21900 = 15625 + 350400 = 366025$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{366025} = 605$.

Теперь найдем значения для $V_м$:

$V_м = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-125 \pm 605}{2 \cdot 4} = \frac{-125 \pm 605}{8}$

Уравнение имеет два корня:

$V_{м1} = \frac{-125 + 605}{8} = \frac{480}{8} = 60$

$V_{м2} = \frac{-125 - 605}{8} = \frac{-730}{8} = -91,25$

Поскольку объём не может быть отрицательным, единственное физически осмысленное решение — это $V_м = 60 \text{ см}^3$.

Теперь найдем объём куска олова, используя второе уравнение системы:

$V_о = V_м - 20 = 60 - 20 = 40 \text{ см}^3$

Ответ: объём куска олова равен $40 \text{ см}^3$, а объём куска меди — $60 \text{ см}^3$.

441. К раствору, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. После этого его концентрация уменьшилась на 7,5%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

Для решения задачи обозначим первоначальную массу воды в растворе через $x$ (в граммах).

Масса соли в растворе, согласно условию, составляет $50$ г. Тогда первоначальная масса всего раствора была $m_1 = (x + 50)$ г, а его концентрация (массовая доля соли) $C_1$ вычислялась по формуле:

$C_1 = \frac{50}{x + 50}$

После того, как к раствору добавили $150$ г воды, масса воды в нем стала $(x + 150)$ г, а общая масса нового раствора составила $m_2 = (x + 50) + 150 = (x + 200)$ г. Новая концентрация соли $C_2$ стала равна:

$C_2 = \frac{50}{x + 200}$

По условию, концентрация уменьшилась на $7,5\%$. В долях это составляет $0,075$. Таким образом, разница между первоначальной и новой концентрациями равна $0,075$.

$C_1 - C_2 = 0,075$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение и решим его относительно $x$:

$\frac{50}{x + 50} - \frac{50}{x + 200} = 0,075$

Вынесем общий множитель $50$ за скобки в левой части:

$50 \left( \frac{1}{x + 50} - \frac{1}{x + 200} \right) = 0,075$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$50 \left( \frac{(x + 200) - (x + 50)}{(x + 50)(x + 200)} \right) = 0,075$

Упростим выражение в числителе дроби:

$50 \left( \frac{x + 200 - x - 50}{(x + 50)(x + 200)} \right) = 0,075$

$50 \left( \frac{150}{(x + 50)(x + 200)} \right) = 0,075$

$\frac{7500}{(x + 50)(x + 200)} = 0,075$

Выразим произведение в знаменателе:

$(x + 50)(x + 200) = \frac{7500}{0,075}$

$(x + 50)(x + 200) = 100000$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 + 200x + 50x + 10000 = 100000$

$x^2 + 250x - 90000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 250^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90000) = 62500 + 360000 = 422500$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-250 \pm \sqrt{422500}}{2 \cdot 1} = \frac{-250 \pm 650}{2}$

$x_1 = \frac{-250 + 650}{2} = \frac{400}{2} = 200$

$x_2 = \frac{-250 - 650}{2} = \frac{-900}{2} = -450$

Поскольку масса воды $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -450$ не соответствует условию задачи. Следовательно, первоначальная масса воды в растворе была $200$ г.

Сколько воды содержал раствор

На основе проведенных вычислений мы установили, что первоначальное количество воды в растворе, обозначенное как $x$, составляет 200 г.

Ответ: 200 г

и какова была его концентрация

Первоначальная концентрация раствора $C_1$ рассчитывается по формуле: $C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} \cdot 100\%$.
Первоначальная масса раствора: $m_1 = x + 50 = 200 + 50 = 250$ г.
$C_1 = \frac{50}{250} \cdot 100\% = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%

442. К 70%-му раствору некоторого вещества добавили 30%-й раствор того же вещества. Концентрация нового раствора — 40%. Найдите отношение массы первого раствора к массе второго.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть масса первого, 70%-го раствора, равна $m_1$, а масса второго, 30%-го раствора, равна $m_2$.

Масса чистого вещества в первом растворе составляет 70% от его общей массы, что можно выразить формулой $0.7 \cdot m_1$.

Аналогично, масса чистого вещества во втором растворе составляет 30% от его общей массы, то есть $0.3 \cdot m_2$.

Когда эти два раствора смешивают, получается новый раствор. Общая масса нового раствора будет равна сумме масс исходных растворов: $m_{общ} = m_1 + m_2$.

Общая масса чистого вещества в новом растворе будет равна сумме масс чистого вещества из первого и второго растворов: $m_{вещ} = 0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2$.

Концентрация раствора определяется как отношение массы чистого вещества к общей массе раствора. По условию, концентрация нового раствора составляет 40%, или 0.4. Таким образом, мы можем составить уравнение: $C_{нов} = \frac{m_{вещ}}{m_{общ}} = \frac{0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2}{m_1 + m_2} = 0.4$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти искомое отношение $\frac{m_1}{m_2}$. Для этого сначала умножим обе части уравнения на знаменатель $(m_1 + m_2)$: $0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2 = 0.4 \cdot (m_1 + m_2)$

Раскроем скобки в правой части уравнения: $0.7 \cdot m_1 + 0.3 \cdot m_2 = 0.4 \cdot m_1 + 0.4 \cdot m_2$

Перенесем все слагаемые, содержащие $m_1$, в левую часть уравнения, а слагаемые, содержащие $m_2$, — в правую часть: $0.7 \cdot m_1 - 0.4 \cdot m_1 = 0.4 \cdot m_2 - 0.3 \cdot m_2$

Выполним вычитание: $0.3 \cdot m_1 = 0.1 \cdot m_2$

Чтобы найти отношение массы первого раствора к массе второго ($\frac{m_1}{m_2}$), разделим обе части уравнения на $m_2$ (подразумевая, что $m_2 \neq 0$), а затем на 0.3: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.1}{0.3}$

Упростив дробь, получаем: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3}$

Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно 1 к 3.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

443. Приведите пример какого-либо числа, отвечающего указанным характеристикам и покажите положение соответствующей точки на координатной прямой:

а) отрицательное, не являющееся рациональным;

б) рациональное, заключённое между числами 2 и 3;

в) иррациональное отрицательное;

г) иррациональное, большее $\frac{1}{3}$ и меньшее $\frac{1}{2}$.

а) отрицательное, не являющееся рациональным;

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Примерами иррациональных чисел являются $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$. Нам нужно найти отрицательное иррациональное число.

В качестве примера возьмем число $-\sqrt{3}$. Это число отрицательное. Так как 3 не является квадратом целого числа, $\sqrt{3}$ является иррациональным, следовательно, и $-\sqrt{3}$ — иррациональное число.

Для того чтобы показать положение точки на координатной прямой, найдем приближенное значение. Известно, что $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, значит $1 < \sqrt{3} < 2$. Более точное значение: $\sqrt{3} \approx 1.732$. Соответственно, $-\sqrt{3} \approx -1.732$. Эта точка находится на координатной прямой между числами -2 и -1, ближе к -2.

Ответ: $-\sqrt{3}$

б) рациональное, заключённое между числами $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$;

Нам нужно найти рациональное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$.

Найдем приближенные значения границ интервала: $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$. Таким образом, нам нужно найти рациональное число, лежащее между 1.414 и 1.732.

Выберем, например, число 1.5. Это число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{3}{2}$. Проверим, выполняется ли неравенство. Возведем все части неравенства в квадрат: $(\sqrt{2})^2 < (1.5)^2 < (\sqrt{3})^2$, что дает $2 < 2.25 < 3$. Неравенство верно, значит, наш выбор корректен.

На координатной прямой точка, соответствующая числу 1.5, находится ровно посередине между отметками 1 и 2.

Ответ: 1.5

в) иррациональное отрицательное;

Это задание аналогично пункту а). Нужно привести пример отрицательного иррационального числа. В качестве другого примера возьмем число $-\pi$.

Число $\pi$ (пи) является иррациональным. Его приближенное значение $\pi \approx 3.14159...$. Соответственно, число $-\pi$ является отрицательным иррациональным числом.

На координатной прямой точка, соответствующая числу $-\pi$, находится между -4 и -3, немного левее отметки -3.14.

Ответ: $-\pi$

г) иррациональное, большее $\frac{1}{3}$ и меньшее $\frac{1}{2}$.

Требуется найти иррациональное число $x$, удовлетворяющее неравенству $\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}$.

Переведем границы в десятичные дроби: $\frac{1}{3} = 0.333...$ и $\frac{1}{2} = 0.5$. Нам нужно найти иррациональное число в интервале $(0.333..., 0.5)$.

Для поиска такого числа возведем неравенство в квадрат: $(\frac{1}{3})^2 < x^2 < (\frac{1}{2})^2$, что равносильно $\frac{1}{9} < x^2 < \frac{1}{4}$. В десятичном виде это $0.111... < x^2 < 0.25$.

Выберем любое удобное число в интервале $(0.111..., 0.25)$, которое не является квадратом рационального числа. Например, возьмем число 0.2, которое можно записать как $\frac{1}{5}$. Так как $0.111... < 0.2 < 0.25$, то и $\sqrt{0.111...} < \sqrt{0.2} < \sqrt{0.25}$, то есть $\frac{1}{3} < \sqrt{0.2} < \frac{1}{2}$. Число $\sqrt{0.2} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ является иррациональным и удовлетворяет условию.

Приближенное значение этого числа: $\frac{1}{\sqrt{5}} \approx \frac{1}{2.236} \approx 0.447$. На координатной прямой эта точка расположена между 0 и 1, а точнее — между $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, ближе к $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{5}}$

444. Запишите без знака модуля:

Чтобы записать выражение без знака модуля, необходимо определить знак выражения, стоящего под знаком модуля. Если выражение неотрицательно, модуль равен самому выражению. Если выражение отрицательно, модуль равен противоположному ему выражению. То есть, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$.

а) $|2 - \sqrt{3}|$
Сравним числа 2 и $\sqrt{3}$. Для этого сравним их квадраты:
$2^2 = 4$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Так как $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$. Следовательно, разность $2 - \sqrt{3}$ является положительным числом.
Поэтому, $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

б) $|\sqrt{5} - 3|$
Сравним числа $\sqrt{5}$ и $3$. Сравним их квадраты:
$(\sqrt{5})^2 = 5$
$3^2 = 9$
Так как $5 < 9$, то $\sqrt{5} < 3$. Следовательно, разность $\sqrt{5} - 3$ является отрицательным числом.
Поэтому, $|\sqrt{5} - 3| = -(\sqrt{5} - 3) = 3 - \sqrt{5}$.
Ответ: $3 - \sqrt{5}$.

в) $|\sqrt{2} - 1,5|$
Сравним числа $\sqrt{2}$ и $1,5$. Сравним их квадраты:
$(\sqrt{2})^2 = 2$
$(1,5)^2 = 2,25$
Так как $2 < 2,25$, то $\sqrt{2} < 1,5$. Следовательно, разность $\sqrt{2} - 1,5$ является отрицательным числом.
Поэтому, $|\sqrt{2} - 1,5| = -(\sqrt{2} - 1,5) = 1,5 - \sqrt{2}$.
Ответ: $1,5 - \sqrt{2}$.

г) $|\sqrt{3} - 1,7|$
Сравним числа $\sqrt{3}$ и $1,7$. Сравним их квадраты:
$(\sqrt{3})^2 = 3$
$(1,7)^2 = 2,89$
Так как $3 > 2,89$, то $\sqrt{3} > 1,7$. Следовательно, разность $\sqrt{3} - 1,7$ является положительным числом.
Поэтому, $|\sqrt{3} - 1,7| = \sqrt{3} - 1,7$.
Ответ: $\sqrt{3} - 1,7$.