Номер 436, страница 129 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 436, страница 129.

Условие.

436. Из пунктов A и B, расстояние между которыми равно 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км. Если бы из пункта A пешеход вышел на 1 ч раньше, то встреча произошла бы на середине пути. С какой скоростью шёл каждый пешеход?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $v_А$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из пункта А, и $v_Б$ км/ч — скорость пешехода, вышедшего из пункта В. Общее расстояние между пунктами $S = 40$ км.

1. Анализ первого условия.

Пешеходы движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_А + v_Б$. За время $t_1 = 4$ часа они вместе прошли расстояние $S_1 = v_{сбл} \cdot t_1 = (v_А + v_Б) \cdot 4$. По условию, через 4 часа им осталось пройти до встречи 4 км. Это означает, что расстояние, которое они уже прошли вместе, составляет $S_1 = 40 - 4 = 36$ км. Составим первое уравнение:
$4 \cdot (v_А + v_Б) = 36$
Разделив обе части на 4, получим:
$v_А + v_Б = 9$

2. Анализ второго условия.

Если бы пешеход из пункта А вышел на 1 час раньше, встреча произошла бы на середине пути. Середина пути находится на расстоянии $\frac{S}{2} = \frac{40}{2} = 20$ км от каждого из пунктов. Пусть $t$ — это время, которое был в пути пешеход из пункта В до момента встречи. Так как пешеход из пункта А вышел на 1 час раньше, его время в пути составило $t + 1$ час. К моменту встречи каждый из них прошел 20 км. Составим систему уравнений, используя формулу пути $S = v \cdot t$:
$v_А \cdot (t + 1) = 20$
$v_Б \cdot t = 20$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из трех уравнений:
1) $v_А + v_Б = 9$
2) $v_А(t + 1) = 20$
3) $v_Б \cdot t = 20$

Из уравнения (1) выразим $v_А$: $v_А = 9 - v_Б$.
Из уравнения (3) выразим $t$: $t = \frac{20}{v_Б}$.
Теперь подставим эти выражения в уравнение (2):
$(9 - v_Б) \cdot \left(\frac{20}{v_Б} + 1\right) = 20$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$(9 - v_Б) \cdot \frac{20 + v_Б}{v_Б} = 20$
Умножим обе части на $v_Б$ (скорость не может быть равна нулю):
$(9 - v_Б)(20 + v_Б) = 20v_Б$
Раскроем скобки:
$180 + 9v_Б - 20v_Б - v_Б^2 = 20v_Б$
$180 - 11v_Б - v_Б^2 = 20v_Б$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$v_Б^2 + 31v_Б - 180 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 961 + 720 = 1681$
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$
Найдем корни уравнения:
$v_{Б,1} = \frac{-31 + 41}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$v_{Б,2} = \frac{-31 - 41}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень $v_{Б,2} = -36$ не является решением задачи. Следовательно, скорость пешехода, вышедшего из пункта В, равна $v_Б = 5$ км/ч.

Найдем скорость пешехода, вышедшего из пункта А, используя уравнение (1):
$v_А = 9 - v_Б = 9 - 5 = 4$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода, вышедшего из пункта А, равна 4 км/ч, а скорость пешехода, вышедшего из пункта В, — 5 км/ч.