Номер 429, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 429, страница 128.

Условие.

429. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть катеты исходного прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи, гипотенуза $c = 13$ см. Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника справедливо равенство: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Запишем это в виде формулы:

$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известное значение гипотенузы:

$a^2 + b^2 = 13^2$

$a^2 + b^2 = 169$

Это наше первое уравнение.

Далее, по условию, один из катетов увеличивают на 4 см. Допустим, мы увеличили катет $a$. Его новая длина стала $a+4$. Катет $b$ остался прежним. Гипотенуза при этом увеличилась на 2 см, то есть ее новая длина стала $13 + 2 = 15$ см.

Для нового прямоугольного треугольника с катетами $(a+4)$ и $b$ и гипотенузой 15 см также запишем теорему Пифагора:

$(a+4)^2 + b^2 = 15^2$

$(a+4)^2 + b^2 = 225$

Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 169 \\ (a+4)^2 + b^2 = 225 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$a^2 + 8a + 16 + b^2 = 225$

Мы можем перегруппировать слагаемые, чтобы использовать первое уравнение:

$(a^2 + b^2) + 8a + 16 = 225$

Из первого уравнения мы знаем, что $a^2 + b^2 = 169$. Подставим это значение:

$169 + 8a + 16 = 225$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$:

$8a + 185 = 225$

$8a = 225 - 185$

$8a = 40$

$a = \frac{40}{8}$

$a = 5$ см

Мы нашли длину одного катета. Для нахождения второго катета $b$ подставим значение $a=5$ в первое уравнение $a^2 + b^2 = 169$:

$5^2 + b^2 = 169$

$25 + b^2 = 169$

$b^2 = 169 - 25$

$b^2 = 144$

$b = \sqrt{144}$

$b = 12$ см (так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, длины катетов исходного треугольника равны 5 см и 12 см.

Ответ: 5 см и 12 см.