Номер 425, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

425. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причём первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью шёл каждый отряд?

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго отрядов соответственно, а $s_1$ и $s_2$ — расстояния, которые они прошли за время $t = 4$ часа.

Первый отряд двигался на север, а второй — на восток. Их пути представляют собой катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между отрядами через 4 часа, равное 24 км, является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора можно составить уравнение:

$s_1^2 + s_2^2 = 24^2$

$s_1^2 + s_2^2 = 576$

По условию задачи, первый отряд прошёл на 4,8 км больше, чем второй. Это даёт нам второе уравнение:

$s_1 = s_2 + 4.8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $s_1$ из второго уравнения в первое:

$(s_2 + 4.8)^2 + s_2^2 = 576$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $s_2$:

$s_2^2 + 2 \cdot s_2 \cdot 4.8 + 4.8^2 + s_2^2 = 576$

$s_2^2 + 9.6s_2 + 23.04 + s_2^2 = 576$

$2s_2^2 + 9.6s_2 - 552.96 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:

$s_2^2 + 4.8s_2 - 276.48 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (4.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-276.48) = 23.04 + 1105.92 = 1128.96$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1128.96} = 33.6$.

Теперь найдем корни уравнения для $s_2$ по формуле $s_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$s_{2,1} = \frac{-4.8 + 33.6}{2} = \frac{28.8}{2} = 14.4$

$s_{2,2} = \frac{-4.8 - 33.6}{2} = \frac{-38.4}{2} = -19.2$

Так как расстояние не может быть отрицательным, расстояние, которое прошёл второй отряд, составляет $s_2 = 14.4$ км.

Теперь можно найти расстояние, пройденное первым отрядом:

$s_1 = s_2 + 4.8 = 14.4 + 4.8 = 19.2$ км.

Зная, что время в пути составляет 4 часа, мы можем вычислить скорости каждого отряда по формуле $v = s / t$.

Скорость первого отряда (шедшего на север):

$v_1 = \frac{s_1}{t} = \frac{19.2 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 4.8$ км/ч.

Скорость второго отряда (шедшего на восток):

$v_2 = \frac{s_2}{t} = \frac{14.4 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 3.6$ км/ч.

Ответ: скорость первого отряда — 4,8 км/ч, скорость второго отряда — 3,6 км/ч.