Номер 431, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 431, страница 128.

Условие.

431. Одна из дорожных бригад может заасфальтировать участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если за 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть первая (более быстрая) бригада может заасфальтировать один участок дороги за $x$ часов. Тогда, согласно условию, вторая бригада может заасфальтировать такой же участок за $(x + 4)$ часа.

Производительность труда (скорость работы) первой бригады составляет $\frac{1}{x}$ участка в час, а производительность второй бригады — $\frac{1}{x+4}$ участка в час.

При совместной работе их производительности складываются. Совместная производительность двух бригад равна:$P_{совм} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$ участка в час.

Из условия известно, что за 24 часа совместной работы бригады заасфальтировали 5 таких участков. Это позволяет найти их совместную производительность другим способом:$P_{совм} = \frac{5 \text{ участков}}{24 \text{ часа}} = \frac{5}{24}$ участка в час.

Теперь мы можем приравнять два выражения для совместной производительности и составить уравнение:$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{5}{24}$

Для решения уравнения приведем левую часть к общему знаменателю:$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{5}{24}$
$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{5}{24}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$24(2x+4) = 5(x^2+4x)$
$48x + 96 = 5x^2 + 20x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:$5x^2 + 20x - 48x - 96 = 0$
$5x^2 - 28x - 96 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-28)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$x_1 = \frac{-(-28) + 52}{2 \cdot 5} = \frac{28 + 52}{10} = \frac{80}{10} = 8$
$x_2 = \frac{-(-28) - 52}{2 \cdot 5} = \frac{28 - 52}{10} = \frac{-24}{10} = -2.4$

Поскольку $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -2.4$ не является решением задачи.
Таким образом, время, за которое первая бригада может заасфальтировать участок, составляет $x = 8$ часов.

Время работы второй бригады составляет $x + 4 = 8 + 4 = 12$ часов.

Ответ: первая бригада может заасфальтировать участок за 8 часов, а вторая — за 12 часов.