Номер 433, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

433. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть весь объем земляных работ равен 1.

Обозначим за $x$ время в часах, за которое первый, более быстрый, экскаватор может выполнить всю работу самостоятельно.Согласно условию, второй экскаватор выполняет тот же объем работ на 4 часа дольше, следовательно, ему потребуется $x+4$ часов.

Производительность (скорость выполнения работы) первого экскаватора равна $P_1 = \frac{1}{x}$ (объема работ в час).Производительность второго экскаватора равна $P_2 = \frac{1}{x+4}$ (объема работ в час).

Когда экскаваторы работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}$.

По условию, работая вместе, они выполняют весь объем работ за 3 часа 45 минут. Переведем это время в часы:$3$ ч $45$ мин = $3 + \frac{45}{60}$ ч = $3 + \frac{3}{4}$ ч = $3.75$ ч или $\frac{15}{4}$ ч.

Работа, выполненная совместно, равна произведению совместной производительности на время работы:$A = P_{общ} \cdot t_{общ}$.Подставим наши значения:

$1 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4}\right) \cdot \frac{15}{4}$

Теперь решим это уравнение. Сначала разделим обе части на $\frac{15}{4}$ (или умножим на $\frac{4}{15}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+4} = \frac{4}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+4)$:

$\frac{x+4+x}{x(x+4)} = \frac{4}{15}$

$\frac{2x+4}{x^2+4x} = \frac{4}{15}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$15 \cdot (2x+4) = 4 \cdot (x^2+4x)$

$30x + 60 = 4x^2 + 16x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$4x^2 + 16x - 30x - 60 = 0$

$4x^2 - 14x - 60 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$2x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 17}{4}$

$x_1 = \frac{7+17}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$x_2 = \frac{7-17}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$

Так как $x$ обозначает время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -2.5$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, время, за которое первый (быстрый) экскаватор выполняет работу, равно $x = 6$ часов.

Время, за которое второй экскаватор выполняет работу, равно $x+4 = 6+4 = 10$ часов.

Ответ: одному экскаватору для выполнения всего объема работ требуется 6 часов, а другому — 10 часов.