Номер 430, страница 128 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 430, страница 128.

Условие.

430. Один комбайнёр может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая через 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнёру, чтобы одному убрать урожай?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ часов — это время, за которое первый (более быстрый) комбайнёр может убрать урожай, работая в одиночку.

Согласно условию, второй комбайнёр убирает тот же урожай на 24 часа дольше. Следовательно, время работы второго комбайнёра составляет $(x + 24)$ часов.

Производительность (скорость работы) первого комбайнёра равна $\frac{1}{x}$ часть поля в час.

Производительность второго комбайнёра равна $\frac{1}{x+24}$ часть поля в час.

При совместной работе их производительности складываются. Общая производительность составляет:
$P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}$

Известно, что вместе они заканчивают уборку за 35 часов. Работа, выполненная за это время, равна 1 (все поле). Таким образом, можно составить уравнение, связывающее общую производительность и время:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24}) \times 35 = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.
Разделим обе части на 35:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+24} = \frac{1}{35}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+24)$:
$\frac{x+24+x}{x(x+24)} = \frac{1}{35}$
$\frac{2x+24}{x^2+24x} = \frac{1}{35}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$35(2x+24) = 1(x^2+24x)$
$70x + 840 = x^2 + 24x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 24x - 70x - 840 = 0$
$x^2 - 46x - 840 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-46)^2 - 4 \times 1 \times (-840) = 2116 + 3360 = 5476$
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5476} = 74$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-46) + 74}{2 \times 1} = \frac{46 + 74}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$x_2 = \frac{-(-46) - 74}{2 \times 1} = \frac{46 - 74}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -14$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, время работы первого комбайнёра равно 60 часов.

Теперь найдем время работы второго комбайнёра:
$x + 24 = 60 + 24 = 84$ часа.

Таким образом, первому комбайнёру потребуется 60 часов, а второму — 84 часа, чтобы убрать урожай в одиночку.

Ответ: первому комбайнёру потребуется 60 часов, второму — 84 часа.