Номер 423, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени - номер 423, страница 127.

Условие.

423. Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² обнесён изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть длина прямоугольного участка равна a метров, а ширина – b метров.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Согласно условию задачи, площадь участка равна 2400 м?. Таким образом, мы получаем первое уравнение: $a \cdot b = 2400$

Длина изгороди, которой обнесён участок, является его периметром. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, периметр равен 200 м. Отсюда получаем второе уравнение: $2(a + b) = 200$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} a \cdot b = 2400 \\ 2(a + b) = 200 \end{cases} $$

Сначала упростим второе уравнение, разделив обе его части на 2: $a + b = \frac{200}{2}$
$a + b = 100$

Теперь выразим одну переменную через другую из этого уравнения. Например, выразим a: $a = 100 - b$

Подставим полученное выражение для a в первое уравнение системы: $(100 - b) \cdot b = 2400$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$: $100b - b^2 = 2400$
$b^2 - 100b + 2400 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$ :
$D = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400$
Корень из дискриминанта равен $\sqrt{400} = 20$.

Найдем корни уравнения, которые будут являться возможными значениями для одной из сторон участка (b):
$b_1 = \frac{-(-100) - 20}{2 \cdot 1} = \frac{80}{2} = 40$
$b_2 = \frac{-(-100) + 20}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны (a), используя соотношение $a = 100 - b$:
1. Если $b = 40$ м, то $a = 100 - 40 = 60$ м.
2. Если $b = 60$ м, то $a = 100 - 60 = 40$ м.

В обоих случаях размеры участка составляют 40 м и 60 м. Принято считать длиной большую сторону, а шириной – меньшую.

Проверка:
Площадь: $S = 60 \text{ м} \cdot 40 \text{ м} = 2400 \text{ м}^2$.
Периметр: $P = 2(60 \text{ м} + 40 \text{ м}) = 2 \cdot 100 \text{ м} = 200 \text{ м}$.
Оба значения соответствуют условиям задачи.

Ответ: длина участка 60 м, ширина 40 м.