Номер 422, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 422, страница 127.

Условие.

422. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 28 см. Составим первое уравнение:
$2(a + b) = 28$
$a + b = 14$

Диагональ прямоугольника $d$, вместе с его сторонами $a$ и $b$, образует прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон: $d^2 = a^2 + b^2$. По условию, диагональ равна 10 см. Составим второе уравнение:
$a^2 + b^2 = 10^2$
$a^2 + b^2 = 100$

В результате мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}$

Для решения системы выразим одну переменную через другую из первого уравнения: $b = 14 - a$.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$a^2 + (14 - a)^2 = 100$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$a^2 + 14^2 - 2 \cdot 14 \cdot a + a^2 = 100$
$a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100$
$2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0$
$2a^2 - 28a + 96 = 0$

Чтобы упростить уравнение, разделим все его члены на 2:
$a^2 - 14a + 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 14, а произведение равно 48. Этими числами являются 6 и 8, поскольку $6 + 8 = 14$ и $6 \cdot 8 = 48$.
Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 6$ и $a_2 = 8$.

Если одна сторона прямоугольника $a = 6$ см, то вторая сторона $b = 14 - 6 = 8$ см.
Если же $a = 8$ см, то $b = 14 - 8 = 6$ см.
В обоих случаях мы получаем, что стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см.