Номер 415, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 415, страница 126.

Условие.

415. Дана система уравнений

Подберите такое число k, чтобы система имела единственное решение. Существует ли такое значение k, при котором данная система не имеет решения; имеет бесконечное множество решений?

Решение 1.

Решение 8.

Для анализа системы линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ необходимо сравнить отношения коэффициентов при переменных и свободных членов.

В нашей системе $\begin{cases} kx + 4y = 6 \\ 5x + 8y = 3 \end{cases}$ коэффициенты равны: $a_1 = k$, $b_1 = 4$, $c_1 = 6$ и $a_2 = 5$, $b_2 = 8$, $c_2 = 3$.

чтобы система имела единственное решение.
Система имеет единственное решение, если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть графики уравнений (прямые) пересекаются.
Это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.
Подставим наши значения:
$\frac{k}{5} \neq \frac{4}{8}$
$\frac{k}{5} \neq \frac{1}{2}$
$k \neq \frac{5}{2}$
$k \neq 2.5$
Таким образом, система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $2.5$. В задании просят подобрать такое число, например, можно взять $k=1$.
Ответ: система будет иметь единственное решение при любом значении $k$, кроме $k=2.5$. Например, при $k=1$.

Существует ли такое значение k, при котором данная система не имеет решения;
Система не имеет решений, если отношения коэффициентов при переменных равны между собой, но не равны отношению свободных членов. Геометрически это означает, что прямые параллельны, но не совпадают.
Это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.
Найдем $k$, при котором выполняется первая часть равенства:
$\frac{k}{5} = \frac{4}{8} \Rightarrow \frac{k}{5} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = 2.5$.
Теперь проверим вторую часть условия (неравенство) при этом значении $k$:
$\frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$
$\frac{4}{8} \neq \frac{6}{3}$
$\frac{1}{2} \neq 2$
Это неравенство верно. Следовательно, при $k=2.5$ система не будет иметь решений.
Ответ: да, существует. При $k=2.5$ система не имеет решений.

имеет бесконечное множество решений?
Система имеет бесконечное множество решений, если все три отношения равны. Геометрически это означает, что прямые совпадают.
Это соответствует условию: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, а $\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{3} = 2$.
Поскольку $\frac{1}{2} \neq 2$, условие $\frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ никогда не выполняется.
Следовательно, не существует такого значения $k$, при котором система имела бы бесконечное множество решений.
Ответ: нет, такого значения $k$ не существует.