Номер 411, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 411, страница 123.

Условие.

411. Из деревни в город, находящийся на расстоянии 72 км, отправился велосипедист. Спустя 15 мин навстречу ему из города выехал другой велосипедист, проезжающий в час на 2 км больше первого. Найдите, с какой скоростью ехал каждый из них, если известно, что они встретились в середине пути.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть скорость первого велосипедиста, выехавшего из деревни, равна $x$ км/ч. По условию, скорость второго велосипедиста на 2 км/ч больше, следовательно, его скорость равна $(x + 2)$ км/ч.

Общее расстояние между деревней и городом составляет 72 км. Велосипедисты встретились на середине пути, значит, каждый из них проехал до встречи половину этого расстояния:

$S = \frac{72}{2} = 36$ км.

Время, которое затратил первый велосипедист на преодоление 36 км, составляет:

$t_1 = \frac{36}{x}$ часа.

Время, которое затратил второй велосипедист, составляет:

$t_2 = \frac{36}{x+2}$ часа.

Известно, что второй велосипедист выехал на 15 минут позже первого. Переведем 15 минут в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}.$

Это означает, что первый велосипедист был в пути на $\frac{1}{4}$ часа дольше, чем второй. На основе этого можно составить уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+2} = \frac{1}{4}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{36(x+2) - 36x}{x(x+2)} = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{36x + 72 - 36x}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$

$\frac{72}{x^2 + 2x} = \frac{1}{4}$

Применим правило пропорции ("крест-накрест"):

$1 \cdot (x^2 + 2x) = 72 \cdot 4$

$x^2 + 2x = 288$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 288 = 0$

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-288) = 4 + 1152 = 1156$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 34}{2}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{-2 + 34}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-2 - 34}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не имеет физического смысла. Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 16 км/ч.

Найдем скорость второго велосипедиста:

$x + 2 = 16 + 2 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 16 км/ч, скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.