Номер 406, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 406, страница 123.

Условие.

406. Укажите три значения c, при которых прямая y = c и окружность x² + y² = 9: а) пересекаются; б) не имеют общих точек. При каких значениях с прямая касается окружности?

Решение 1.

Решение 8.

Данная задача рассматривает взаимное расположение прямой и окружности на координатной плоскости.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 9$ описывает окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$. Это означает, что все точки окружности находятся на расстоянии 3 от центра. Самая высокая точка окружности имеет координаты $(0, 3)$, а самая низкая — $(0, -3)$.

Уравнение $y = c$ задает горизонтальную прямую, все точки которой имеют ординату (координату y), равную $c$. Положение этой прямой зависит от значения параметра $c$.

Чтобы найти точки пересечения, мы можем подставить $y = c$ в уравнение окружности: $x^2 + c^2 = 9$ $x^2 = 9 - c^2$

Количество решений этого уравнения для $x$ определяет количество точек пересечения.

а) пересекаются

Прямая и окружность пересекаются в двух точках, если уравнение $x^2 = 9 - c^2$ имеет два различных действительных корня. Это возможно, когда правая часть уравнения положительна: $9 - c^2 > 0$ $c^2 < 9$ $-3 < c < 3$

Таким образом, прямая пересекает окружность, если она проходит между верхней и нижней точками окружности. Нужно указать три любых значения $c$ из интервала $(-3, 3)$.
Например, можно выбрать $c = -2$, $c = 0$, $c = 1$.

Ответ: $c = -2$, $c = 0$, $c = 1$.

б) не имеют общих точек

Прямая и окружность не имеют общих точек, если уравнение $x^2 = 9 - c^2$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда правая часть уравнения отрицательна: $9 - c^2 < 0$ $c^2 > 9$ $c < -3$ или $c > 3$

Геометрически это означает, что прямая проходит либо выше самой высокой точки окружности (при $c > 3$), либо ниже самой низкой точки (при $c < -3$). Нужно указать три любых значения $c$, удовлетворяющих этому условию.
Например, можно выбрать $c = -5$, $c = 4$, $c = 10$.

Ответ: $c = -5$, $c = 4$, $c = 10$.

При каких значениях c прямая касается окружности?

Касание прямой и окружности означает, что они имеют ровно одну общую точку. Это соответствует случаю, когда уравнение $x^2 = 9 - c^2$ имеет ровно один корень. Это возможно, только если $x=0$, а значит правая часть уравнения равна нулю: $9 - c^2 = 0$ $c^2 = 9$ $c = 3$ или $c = -3$

Это соответствует двум горизонтальным касательным: $y = 3$ (касается окружности в верхней точке $(0, 3)$) и $y = -3$ (касается окружности в нижней точке $(0, -3)$).

Ответ: при $c = 3$ и $c = -3$.