Номер 413, страница 125 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 413, страница 125.

Условие.

413. Определите число решений системы уравнений:

Решение 1.

Решение 8.

Для определения числа решений системы линейных уравнений вида $\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases}$ анализируют соотношения их коэффициентов. Существует три возможных случая:

1. Если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, система имеет одно единственное решение. Графически это означает, что прямые пересекаются в одной точке.

2. Если отношения коэффициентов при $x$ и $y$ равны, но не равны отношению свободных членов, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, система не имеет решений. Графически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.

3. Если отношения всех коэффициентов равны, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений. Графически это означает, что прямые совпадают.

а) Рассматриваем систему:

$\begin{cases} 2x + 2y + 7 = 0 \\ 10x - 4y + 14 = 0 \end{cases}$

Коэффициенты уравнений: $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 7$ и $a_2 = 10, b_2 = -4, c_2 = 14$.

Сравним отношения коэффициентов при $x$ и $y$:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (так как $\frac{1}{5} \neq -\frac{1}{2}$), система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

б) Рассматриваем систему:

$\begin{cases} x + 3y + 6 = 0 \\ 10x + 30y + 60 = 0 \end{cases}$

Коэффициенты уравнений: $a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = 6$ и $a_2 = 10, b_2 = 30, c_2 = 60$.

Сравним отношения всех коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{10}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: бесконечно много решений.

в) Рассматриваем систему:

$\begin{cases} 8x - 4y - 15 = 0 \\ 10x - 5y - 28 = 0 \end{cases}$

Коэффициенты уравнений: $a_1 = 8, b_1 = -4, c_1 = -15$ и $a_2 = 10, b_2 = -5, c_2 = -28$.

Сравним отношения коэффициентов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-15}{-28} = \frac{15}{28}$

Поскольку $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ (так как $\frac{4}{5} \neq \frac{15}{28}$), система не имеет решений.

Ответ: нет решений.