Номер 409, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 409, страница 123.

Условие.

409. При каких значениях a решением системы уравнений является пара положительных чисел?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых решение системы уравнений является парой положительных чисел, необходимо сначала выразить $x$ и $y$ через $a$, а затем решить систему неравенств $x > 0$ и $y > 0$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(x + y) + (3x - y) = (a + 1) + (a - 1)$

$4x = 2a$

Отсюда выразим $x$:

$x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$\frac{a}{2} + y = a + 1$

$y = a + 1 - \frac{a}{2}$

$y = \frac{2(a+1) - a}{2} = \frac{2a + 2 - a}{2} = \frac{a + 2}{2}$

Таким образом, решение системы имеет вид: $x = \frac{a}{2}$, $y = \frac{a + 2}{2}$.

Согласно условию задачи, $x$ и $y$ должны быть положительными числами. Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases} $

Подставим в нее полученные выражения для $x$ и $y$:

$ \begin{cases} \frac{a}{2} > 0 \\ \frac{a + 2}{2} > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство относительно $a$:

1) Из неравенства $\frac{a}{2} > 0$ следует, что $a > 0$.

2) Из неравенства $\frac{a + 2}{2} > 0$ следует, что $a + 2 > 0$, то есть $a > -2$.

Оба неравенства должны выполняться одновременно. Найдем пересечение полученных решений:

$ \begin{cases} a > 0 \\ a > -2 \end{cases} $

Общим решением системы неравенств является $a > 0$.

Ответ: решением системы является пара положительных чисел при $a > 0$, то есть при $a \in (0; +\infty)$.