Номер 404, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

404. Пересекаются ли окружность x² + y² = 9 и гипербола xy = –3? Если пересекаются, то сколько общих точек они имеют?

Для того чтобы определить, пересекаются ли окружность и гипербола, и найти количество точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ xy = -3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим y через x. Так как произведение xy не равно нулю, то и x не может быть равен нулю, поэтому деление на x допустимо.

$$ y = -\frac{3}{x} $$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$$ x^2 + \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = 9 $$

$$ x^2 + \frac{9}{x^2} = 9 $$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя, так как мы уже установили, что $x \neq 0$:

$$ x^4 + 9 = 9x^2 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$$ x^4 - 9x^2 + 9 = 0 $$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Поскольку x — действительное число, $x^2$ не может быть отрицательным, следовательно, $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно t:

$$ t^2 - 9t + 9 = 0 $$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней. Сначала вычислим дискриминант (D):

$$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45 $$

Поскольку дискриминант $D = 45 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня для t.

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2} $$

Мы получили два значения для t:

$$ t_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2} \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2} $$

Теперь нужно проверить, являются ли эти корни положительными, так как $t = x^2$.

Корень $t_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$ очевидно положителен, так как является суммой положительных чисел.

Для корня $t_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}$ проверим знак числителя. Сравним 9 и $3\sqrt{5}$. Возведем оба числа в квадрат: $9^2 = 81$ и $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$. Так как $81 > 45$, то $9 > 3\sqrt{5}$, и, следовательно, $9 - 3\sqrt{5} > 0$. Значит, корень $t_2$ также положителен.

Оба значения для t ($t_1$ и $t_2$) являются положительными. Это означает, что для каждого из них существуют действительные значения x.

Вернемся к замене $t=x^2$:

1. Уравнение $x^2 = t_1 = \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}$ имеет два различных действительных корня: $x = \pm\sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{5}}{2}}$.

2. Уравнение $x^2 = t_2 = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}$ также имеет два различных действительных корня: $x = \pm\sqrt{\frac{9 - 3\sqrt{5}}{2}}$.

Таким образом, мы получили четыре различных действительных значения для x. Каждому значению x соответствует единственное значение $y = -3/x$. Следовательно, система уравнений имеет четыре различных действительных решения, что соответствует четырем точкам пересечения графиков окружности и гиперболы.

Ответ: Да, окружность и гипербола пересекаются. Они имеют 4 общие точки.