Номер 401, страница 123 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 401, страница 123.

Условие.

401. Решите графически систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

a)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} (x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9, \\ y = x. \end{cases} $

Для решения системы графически необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точки их пересечения.

1. Первое уравнение $(x - 4)^2 + (y - 5)^2 = 9$ — это уравнение окружности. Стандартный вид уравнения окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $r$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $O(4, 5)$, а радиус $r = \sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение $y = x$ — это уравнение прямой. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат. Для построения можно взять две точки, например, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

3. Построим графики в одной системе координат. Начертим окружность с центром в точке $(4, 5)$ и радиусом 3. Затем в этой же системе координат проведем прямую $y = x$.

Из графика видно, что прямая и окружность пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решениями системы. Однако, графический метод позволяет найти лишь приблизительные значения, так как точки пересечения не имеют целочисленных координат.

Для нахождения точных координат решим систему аналитически, подставив $y = x$ в уравнение окружности:
$(x - 4)^2 + (x - 5)^2 = 9$
$x^2 - 8x + 16 + x^2 - 10x + 25 = 9$
$2x^2 - 18x + 41 = 9$
$2x^2 - 18x + 32 = 0$
$x^2 - 9x + 16 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 81 - 64 = 17$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{17}}{2}$
Так как $y = x$, то координаты точек пересечения:
$x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}, y_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}, y_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2}$

Ответ: $(\frac{9 - \sqrt{17}}{2}, \frac{9 - \sqrt{17}}{2}), (\frac{9 + \sqrt{17}}{2}, \frac{9 + \sqrt{17}}{2})$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y - x^2 = 0, \\ x + y = 6. \end{cases} $

Преобразуем уравнения для удобства построения графиков: $ \begin{cases} y = x^2, \\ y = -x + 6. \end{cases} $

1. Первое уравнение $y = x^2$ — это уравнение параболы. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, ветви направлены вверх. Для построения можно использовать точки: $(0, 0), (1, 1), (-1, 1), (2, 4), (-2, 4), (3, 9), (-3, 9)$.

2. Второе уравнение $y = -x + 6$ — это уравнение прямой. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
Если $x = 0$, то $y = 6$. Точка $(0, 6)$.
Если $y = 0$, то $x = 6$. Точка $(6, 0)$.

3. Построим графики параболы и прямой в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты по чертежу.
Первая точка пересечения имеет координаты $(2, 4)$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, 9)$.

Проверим найденные решения, подставив их в оба уравнения системы.
Для точки $(2, 4)$:
$4 = 2^2 \implies 4 = 4$ (верно)
$4 = -2 + 6 \implies 4 = 4$ (верно)
Для точки $(-3, 9)$:
$9 = (-3)^2 \implies 9 = 9$ (верно)
$9 = -(-3) + 6 \implies 9 = 3 + 6 \implies 9 = 9$ (верно)
Обе точки являются решениями системы.

Ответ: $(2, 4), (-3, 9)$.