Номер 400, страница 122 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

400. Изобразите схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений

Для решения данной задачи необходимо последовательно выполнить два действия, указанных в условии: сначала изобразить графики уравнений, а затем на основе их анализа определить количество решений системы.

Рассмотрим каждое уравнение системы по отдельности, чтобы определить вид их графиков.

1. Первое уравнение: $x^2 + y^2 = 9$.
Это уравнение соответствует стандартному виду уравнения окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра, а $R$ — радиус.
Для данного уравнения центр $O_1$ находится в точке $(0, 0)$, а радиус $R_1 = \sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение: $(x - 10)^2 + y^2 = 16$.
Это также уравнение окружности.
Её центр $O_2$ находится в точке $(10, 0)$, а радиус $R_2 = \sqrt{16} = 4$.

Теперь мы можем схематически изобразить обе окружности на одной координатной плоскости. Первая окружность (синяя) имеет центр в начале координат и радиус 3. Вторая окружность (красная) смещена по оси $x$ вправо, имеет центр в точке $(10, 0)$ и радиус 4.

Ответ: Графиками уравнений являются две окружности. Первая имеет центр в точке (0,0) и радиус 3. Вторая имеет центр в точке (10,0) и радиус 4. Их схематическое изображение представлено на рисунке выше.

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения их графиков. Из построенной схемы видно, что окружности не пересекаются и даже не касаются друг друга.

Чтобы доказать это аналитически, найдём расстояние $d$ между центрами окружностей и сравним его с суммой их радиусов $R_1 + R_2$.

Расстояние $d$ между центрами $O_1(0, 0)$ и $O_2(10, 0)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(10 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{10^2} = 10$.

Сумма радиусов двух окружностей:
$R_1 + R_2 = 3 + 4 = 7$.

Сравниваем полученные значения: $d = 10$ и $R_1 + R_2 = 7$.
Поскольку расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R_1 + R_2$, или $10 > 7$), окружности не имеют общих точек.

Следовательно, у системы уравнений нет решений.

Ответ: 0.