Номер 393, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Авторы: Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: белый, зелёный, фиолетовый
ISBN: 978-5-09-112135-3
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 9 классе
20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 393, страница 121.
№393 (с. 121)
Условие. №393 (с. 121)
скриншот условия

393. Решите систему уравнений

Решение 1. №393 (с. 121)


Решение 8. №393 (с. 121)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases} $
Эта система является симметрической, поскольку уравнения не изменятся, если поменять местами переменные $x$ и $y$. Для её решения удобно использовать метод, основанный на тождестве полного квадрата.
Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Из неё можно выразить $x^2+y^2$:
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$(x+y)^2 - 2xy = 10$.
Из второго уравнения системы нам известно, что $xy = 3$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:
$(x+y)^2 - 2 \cdot 3 = 10$
$(x+y)^2 - 6 = 10$
$(x+y)^2 = 16$
Из этого уравнения следует, что сумма $x+y$ может принимать два значения: $4$ или $-4$. Это позволяет разбить задачу на два отдельных случая.
Случай 1
Рассмотрим систему, где $x+y=4$ и $xy=3$:
$ \begin{cases} x+y = 4, \\ xy = 3. \end{cases} $
Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив известные значения суммы и произведения, получим:
$t^2 - 4t + 3 = 0$.
Корнями этого уравнения являются $t_1=1$ и $t_2=3$. Это означает, что если $x=1$, то $y=3$, и если $x=3$, то $y=1$. Таким образом, мы получаем две пары решений: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.
Случай 2
Рассмотрим систему, где $x+y=-4$ и $xy=3$:
$ \begin{cases} x+y = -4, \\ xy = 3. \end{cases} $
Аналогично первому случаю, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим значения:
$t^2 - (-4)t + 3 = 0$
$t^2 + 4t + 3 = 0$.
Корнями этого уравнения являются $t_1=-1$ и $t_2=-3$. Это означает, что если $x=-1$, то $y=-3$, и если $x=-3$, то $y=-1$. Таким образом, мы получаем еще две пары решений: $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.
Объединив решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходной системы.
Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 9 класс, для упражнения номер 393 расположенного на странице 121 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №393 (с. 121), авторов: Макарычев (Юрий Николаевич), Миндюк (Нора Григорьевна), Нешков (Константин Иванович), Суворова (Светлана Борисовна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.