Номер 393, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 393, страница 121.

Условие.

393. Решите систему уравнений

Решение 1.

Решение 8.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases} $

Эта система является симметрической, поскольку уравнения не изменятся, если поменять местами переменные $x$ и $y$. Для её решения удобно использовать метод, основанный на тождестве полного квадрата.

Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Из неё можно выразить $x^2+y^2$:

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$(x+y)^2 - 2xy = 10$.

Из второго уравнения системы нам известно, что $xy = 3$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$(x+y)^2 - 2 \cdot 3 = 10$

$(x+y)^2 - 6 = 10$

$(x+y)^2 = 16$

Из этого уравнения следует, что сумма $x+y$ может принимать два значения: $4$ или $-4$. Это позволяет разбить задачу на два отдельных случая.

Случай 1

Рассмотрим систему, где $x+y=4$ и $xy=3$:

$ \begin{cases} x+y = 4, \\ xy = 3. \end{cases} $

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставив известные значения суммы и произведения, получим:

$t^2 - 4t + 3 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1=1$ и $t_2=3$. Это означает, что если $x=1$, то $y=3$, и если $x=3$, то $y=1$. Таким образом, мы получаем две пары решений: $(1, 3)$ и $(3, 1)$.

Случай 2

Рассмотрим систему, где $x+y=-4$ и $xy=3$:

$ \begin{cases} x+y = -4, \\ xy = 3. \end{cases} $

Аналогично первому случаю, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим значения:

$t^2 - (-4)t + 3 = 0$

$t^2 + 4t + 3 = 0$.

Корнями этого уравнения являются $t_1=-1$ и $t_2=-3$. Это означает, что если $x=-1$, то $y=-3$, и если $x=-3$, то $y=-1$. Таким образом, мы получаем еще две пары решений: $(-1, -3)$ и $(-3, -1)$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем полный набор решений исходной системы.

Ответ: $(1, 3)$, $(3, 1)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.