Номер 391, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 391, страница 121.

Условие.

391. Решите способом подстановки систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 12, \\xy = -6.\end{cases}$$Для решения системы методом подстановки выразим одну переменную через другую из второго уравнения. Так как $xy = -6$, то ни $x$, ни $y$ не могут быть равны нулю. Выразим $y$ через $x$:$y = -\frac{6}{x}$.

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:$x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 12$$x^2 + \frac{36}{x^2} = 12$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (мы уже установили, что $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:$x^4 + 36 = 12x^2$$x^4 - 12x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и $t \ge 0$. Уравнение примет вид:$t^2 - 12t + 36 = 0$

Это полный квадрат разности:$(t - 6)^2 = 0$Отсюда $t - 6 = 0$, следовательно, $t = 6$.

Вернемся к переменной $x$:$x^2 = t = 6$Отсюда получаем два значения для $x$:$x_1 = \sqrt{6}$ и $x_2 = -\sqrt{6}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя формулу $y = -\frac{6}{x}$.

1. Если $x_1 = \sqrt{6}$, то $y_1 = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\frac{6\sqrt{6}}{6} = -\sqrt{6}$.
Первая пара решений: $(\sqrt{6}; -\sqrt{6})$.

2. Если $x_2 = -\sqrt{6}$, то $y_2 = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$.
Вторая пара решений: $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.

Ответ: $(\sqrt{6}; -\sqrt{6}), (-\sqrt{6}; \sqrt{6})$.

б)

Дана система уравнений:$$\begin{cases}2x^2 - y^2 = 34, \\xy = 20.\end{cases}$$Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$. Так как $xy = 20$, то $x \neq 0$.$y = \frac{20}{x}$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:$2x^2 - \left(\frac{20}{x}\right)^2 = 34$$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$

Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от дроби:$2x^4 - 400 = 34x^2$$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:$t^2 - 17t - 200 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 289 + 800 = 1089$$\sqrt{D} = \sqrt{1089} = 33$

Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-(-17) + 33}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{-(-17) - 33}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку $t = x^2$, значение $t$ не может быть отрицательным. Поэтому корень $t_2 = -8$ является посторонним.Остается $t = 25$.

Выполним обратную замену:$x^2 = 25$Отсюда получаем два значения для $x$:$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$ по формуле $y = \frac{20}{x}$.

1. Если $x_1 = 5$, то $y_1 = \frac{20}{5} = 4$.
Первая пара решений: $(5; 4)$.

2. Если $x_2 = -5$, то $y_2 = \frac{20}{-5} = -4$.
Вторая пара решений: $(-5; -4)$.

Ответ: $(5; 4), (-5; -4)$.