Номер 385, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Решение систем уравнений с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 385, страница 121.

Условие.

385. Решите систему уравнений графически и аналитически:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4. \end{cases} $$

Графическое решение:

1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

2. Второе уравнение $x - y = 4$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$, чтобы построить график: $y = x - 4$. Это прямая с угловым коэффициентом $k=1$ и пересечением с осью $y$ в точке $(0, -4)$. Для построения прямой найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• Если $x = 4$, то $y = 4 - 4 = 0$. Точка $(4, 0)$.

3. Построим графики окружности и прямой в одной системе координат. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в точках $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Аналитическое решение:

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 4$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы: $(y + 4)^2 + y^2 = 16$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$: $y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16$
$2y^2 + 8y = 0$
$2y(y + 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:
$y_1 = 0$
$y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$, подставив найденные значения $y$ в выражение $x = y + 4$:
Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 4 = 4$.
Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 4 = 0$.

Таким образом, система имеет два решения: $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Ответ: $(4, 0)$, $(0, -4)$.

---

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x^2 + 1, \\ x + 2y = 5. \end{cases} $$

Графическое решение:

1. Первое уравнение $y = x^2 + 1$ — это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.

2. Второе уравнение $x + 2y = 5$ — это уравнение прямой. Выразим $y$ через $x$:
$2y = 5 - x$
$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ или $y = -0.5x + 2.5$.
Для построения прямой найдем две точки:

• Если $x = 1$, то $y = -0.5(1) + 2.5 = 2$. Точка $(1, 2)$.
• Если $x = 5$, то $y = -0.5(5) + 2.5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

3. Построим графики параболы и прямой в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы. Построив графики, можно увидеть, что они пересекаются в двух точках. Одна точка пересечения легко определяется из графика: $(1, 2)$. Вторую точку определить по графику затруднительно, но она находится в левой полуплоскости. Для нахождения точных координат используем аналитический метод.

Аналитическое решение:

Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $x + 2(x^2 + 1) = 5$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x + 2x^2 + 2 = 5$
$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в уравнение $y = x^2 + 1$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1^2 + 1 = 2$.
Если $x_2 = -\frac{3}{2}$, то $y_2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}$.

Система имеет два решения: $(1, 2)$ и $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$.