Номер 392, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 392, страница 121.

Условие.

392. Решите систему уравнений, используя способ сложения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14, \\ x^2 + 2y^2 = 18. \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы. Это позволит исключить переменную $y$, так как коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами ($-2$ и $2$).
$(x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2y^2) = 14 + 18$
$2x^2 = 32$
$x^2 = 16$
Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Теперь подставим найденное значение $x^2 = 16$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Возьмем второе уравнение:
$16 + 2y^2 = 18$
$2y^2 = 18 - 16$
$2y^2 = 2$
$y^2 = 1$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Каждое значение $x$ может сочетаться с каждым значением $y$. Таким образом, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(4; 1)$, $(4; -1)$, $(-4; 1)$, $(-4; -1)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ x^2 - y^2 = 11. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$:
$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11$
$2x^2 = 72$
$x^2 = 36$
Следовательно, $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.
Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $x$:
$(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 61 - 11$
$2y^2 = 50$
$y^2 = 25$
Следовательно, $y_1 = 5$ и $y_2 = -5$.
Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.
Ответ: $(6; 5)$, $(6; -5)$, $(-6; 5)$, $(-6; -5)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy + x = 56, \\ xy + y = 54. \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого. Это позволит исключить член $xy$:
$(xy + x) - (xy + y) = 56 - 54$
$x - y = 2$
Из этого уравнения выразим $x$ через $y$:
$x = y + 2$
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение исходной системы:
$(y + 2)y + (y + 2) = 56$
$y^2 + 2y + y + 2 = 56$
$y^2 + 3y - 54 = 0$
Мы получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-54$, а сумма равна $-3$. Эти числа $6$ и $-9$.
Таким образом, $y_1 = 6$, $y_2 = -9$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя формулу $x = y + 2$:
Если $y_1 = 6$, то $x_1 = 6 + 2 = 8$.
Если $y_2 = -9$, то $x_2 = -9 + 2 = -7$.
В результате получаем две пары решений.
Ответ: $(8; 6)$, $(-7; -9)$.