Номер 387, страница 121 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Параграф 7. Уравнения с двумя переменными и их системы. 20. Решение систем уравнений с двумя переменными - номер 387, страница 121.

Условие.

387. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 6(y - x) - 50 = y, \\ y - xy = 24; \end{cases} $$ Упростим первое уравнение:
$6y - 6x - 50 = y$
$5y - 6x = 50$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y(1 - x) = 24$
$y = \frac{24}{1 - x}$, при условии, что $x \neq 1$.

Подставим выражение для $y$ в упрощенное первое уравнение:
$5\left(\frac{24}{1 - x}\right) - 6x = 50$
$\frac{120}{1 - x} - 6x = 50$

Умножим обе части уравнения на $(1 - x)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$120 - 6x(1 - x) = 50(1 - x)$
$120 - 6x + 6x^2 = 50 - 50x$
$6x^2 - 6x + 50x + 120 - 50 = 0$
$6x^2 + 44x + 70 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$3x^2 + 22x + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 35 = 484 - 420 = 64$
$\sqrt{D} = 8$

Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-22 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$
$x_2 = \frac{-22 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$.
1. Если $x_1 = -5$, то:
$y_1 = \frac{24}{1 - (-5)} = \frac{24}{6} = 4$
Первая пара решений: $(-5, 4)$.
2. Если $x_2 = -\frac{7}{3}$, то:
$y_2 = \frac{24}{1 - (-\frac{7}{3})} = \frac{24}{1 + \frac{7}{3}} = \frac{24}{\frac{10}{3}} = \frac{24 \cdot 3}{10} = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$
Вторая пара решений: $(-\frac{7}{3}, \frac{36}{5})$.

Ответ: $(-5, 4)$, $(-\frac{7}{3}, \frac{36}{5})$.

б)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} p + 5t = 2(p + t), \\ pt - t = 10. \end{cases} $$ Упростим первое уравнение:
$p + 5t = 2p + 2t$
$5t - 2t = 2p - p$
$3t = p$

Подставим выражение $p = 3t$ во второе уравнение системы:
$(3t)t - t = 10$
$3t^2 - t = 10$
$3t^2 - t - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$
$\sqrt{D} = 11$

Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $p$ для каждого корня $t$, используя соотношение $p = 3t$.
1. Если $t_1 = 2$, то:
$p_1 = 3 \cdot 2 = 6$
Первая пара решений: $(6, 2)$.
2. Если $t_2 = -\frac{5}{3}$, то:
$p_2 = 3 \cdot (-\frac{5}{3}) = -5$
Вторая пара решений: $(-5, -\frac{5}{3})$.

Ответ: $(6, 2)$, $(-5, -\frac{5}{3})$.