Номер 383, страница 117 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

383. Решите систему уравнений способом сложения:

а) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 5x + 2y = 30, \\ 3x + 4y = -3. \end{cases} $$

Для решения системы методом сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях были противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на $-2$, чтобы коэффициент при переменной $y$ стал $-4$.

$$ -2 \cdot (5x + 2y) = -2 \cdot 30 $$

$$ -10x - 4y = -60 $$

Теперь система выглядит так:

$$ \begin{cases} -10x - 4y = -60, \\ 3x + 4y = -3. \end{cases} $$

Сложим левые и правые части уравнений:

$$ (-10x - 4y) + (3x + 4y) = -60 + (-3) $$

$$ -7x = -63 $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \frac{-63}{-7} $$

$$ x = 9 $$

Подставим найденное значение $x=9$ в первое исходное уравнение $5x + 2y = 30$, чтобы найти $y$:

$$ 5 \cdot 9 + 2y = 30 $$

$$ 45 + 2y = 30 $$

$$ 2y = 30 - 45 $$

$$ 2y = -15 $$

$$ y = -\frac{15}{2} = -7.5 $$

Решением системы является пара чисел $(9; -7.5)$.
Ответ: $(9; -7.5)$.

б) Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - y = 85, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Чтобы использовать метод сложения, умножим обе части первого уравнения на $-2$. Это позволит нам получить противоположные коэффициенты при переменной $y$ ($-1 \cdot -2 = 2$).

$$ -2 \cdot (2x - y) = -2 \cdot 85 $$

$$ -4x + 2y = -170 $$

Новая система уравнений:

$$ \begin{cases} -4x + 2y = -170, \\ 5x - 2y = 200. \end{cases} $$

Теперь сложим уравнения почленно:

$$ (-4x + 2y) + (5x - 2y) = -170 + 200 $$

$$ x = 30 $$

Мы нашли значение $x$. Теперь подставим его в первое исходное уравнение $2x - y = 85$, чтобы найти $y$:

$$ 2 \cdot 30 - y = 85 $$

$$ 60 - y = 85 $$

$$ -y = 85 - 60 $$

$$ -y = 25 $$

$$ y = -25 $$

Решением системы является пара чисел $(30; -25)$.
Ответ: $(30; -25)$.